Questão 1. Use o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha
\int_{C}\left(e^{z^{2}}+x+y\right) d x+\left(e^{y^{2}}+y\right) d y+e^{x^{2}} d z
em que C é a interseção do elipsoide
x^{2}+2 y^{2}+z^{2}=4
com o plano z+x=2, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral de linha
\int_{C}\left(e^{z^{2}}+x+y\right) d x+\left(e^{y^{2}}+y\right) d y+e^{x^{2}} d z
onde C é a curva fechada dada pela interseção do elipsoide
x^{2}+2 y^{2}+z^{2}=4
com o plano
z+x=2,
orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. Informações dadas que vamos usar: a curva C é um contorno fechado e está contida no plano z+x=2; o campo vetorial associado à integral de linha é
Escolha do método (curto e direto porque o enunciado já pediu): aplicar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha sobre C com uma integral de superfície sobre uma superfície S cuja fronteira é C. Vou explicar a fórmula usada: o Teorema de Stokes diz que, se S é uma superfície orientada e \partial S=C com orientação compatível, então
Aqui \nabla\times\mathbf{F} é o rotacional (curl) de \mathbf{F}, \mathbf{n} é o vetor normal unitário orientado conforme a curva, e dS é o elemento de área da superfície. Vou calcular o rotacional e escolher S como a parte do plano z=2-x limitada por C.
Passo 3
Calcular o rotacional \nabla\times\mathbf{F}. A definição (explico): para \mathbf{F}=(P,Q,R),
Escolher e parametrizar a superfície S. Vou tomar S como a porção do plano z+x=2 delimitada por C. Escrevo o plano na forma z=g(x,y)=2-x. Para aplicar Stokes preciso do vetor normal compatível com a orientação dada: a curva é orientada anti-horário vista de cima (isto é, vista da direção positiva do eixo z). Isso pede uma normal com componente z positiva (vetor apontando “para cima”). Para superfícies dadas por z=g(x,y) a escolha padrão para a normal com componente z positiva é
\mathbf{n}\,dS=\big(-g_x,\,-g_y,\,1\big)\,dA,
onde dA é a área projetada no plano xy. Aqui g_x=\frac{\partial}{\partial x}(2-x)=-1 e g_y=0. Então
Portanto a projeção D é o disco no plano xy de centro (1,0) e raio 1. A área de D é \pi\cdot 1^{2}=\pi.
Passo 6
Calcular o integrando (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n} avaliando \nabla\times\mathbf{F} sobre S (ou seja, com z=2-x) e fazendo o produto com \mathbf{n}\,dS=(1,0,1)\,dA. Primeiro substituo z=2-x na expressão do rotacional:
Surpresa agradável: o termo complicado some porque a segunda componente do normal é zero, e a primeira componente do rotacional é zero, restando apenas -1. Portanto o integrando é a constante -1.
Passo 7
Avaliar a integral de superfície: como o integrando é constante -1, temos