Questão 1. Use o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha
\int_{C}\left(e^{z^{2}}+x+y\right) d x+\left(e^{y^{2}}+y\right) d y+e^{x^{2}} d z
em que C é a interseção do elipsoide
x^{2}+2 y^{2}+z^{2}=4
com o plano z+x=2, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral de linha
\int_{C}\left(e^{z^{2}}+x+y\right) d x+\left(e^{y^{2}}+y\right) d y+e^{x^{2}} d z
onde C é a curva fechada dada pela interseção do elipsoide
x^{2}+2 y^{2}+z^{2}=4
com o plano
z+x=2,
orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. Informações dadas que vamos usar: a curva C é um contorno fechado e está contida no plano z+x=2; o campo vetorial associado à integral de linha é
\mathbf{F}(x,y,z)=\big(P,Q,R\big)=\big(e^{z^{2}}+x+y,\;e^{y^{2}}+y,\;e^{x^{2}}\big).

Passo 2

Escolha do método (curto e direto porque o enunciado já pediu): aplicar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha sobre C com uma integral de superfície sobre uma superfície S cuja fronteira é C. Vou explicar a fórmula usada: o Teorema de Stokes diz que, se S é uma superfície orientada e \partial S=C com orientação compatível, então
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS.
Aqui \nabla\times\mathbf{F} é o rotacional (curl) de \mathbf{F}, \mathbf{n} é o vetor normal unitário orientado conforme a curva, e dS é o elemento de área da superfície. Vou calcular o rotacional e escolher S como a parte do plano z=2-x limitada por C.

Passo 3

Calcular o rotacional \nabla\times\mathbf{F}. A definição (explico): para \mathbf{F}=(P,Q,R),
\nabla\times\mathbf{F}=\Big(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\;\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\;\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Big).
Agora calculo cada derivada (mostrando passo a passo):
\frac{\partial R}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(e^{x^{2}}\big)=0, \qquad \frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\big(e^{y^{2}}+y\big)=0,
logo a primeira componente é 0-0=0.
\frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\big(e^{z^{2}}+x+y\big)=2z\,e^{z^{2}}, \qquad \frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(e^{x^{2}}\big)=2x\,e^{x^{2}},
logo a segunda componente é 2z\,e^{z^{2}}-2x\,e^{x^{2}}.
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(e^{y^{2}}+y\big)=0, \qquad \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(e^{z^{2}}+x+y\big)=1,
logo a terceira componente é 0-1=-1.
Portanto
\nabla\times\mathbf{F}=\big(0,\;2z\,e^{z^{2}}-2x\,e^{x^{2}},\;-1\big).

Passo 4

Escolher e parametrizar a superfície S. Vou tomar S como a porção do plano z+x=2 delimitada por C. Escrevo o plano na forma z=g(x,y)=2-x. Para aplicar Stokes preciso do vetor normal compatível com a orientação dada: a curva é orientada anti-horário vista de cima (isto é, vista da direção positiva do eixo z). Isso pede uma normal com componente z positiva (vetor apontando “para cima”). Para superfícies dadas por z=g(x,y) a escolha padrão para a normal com componente z positiva é
\mathbf{n}\,dS=\big(-g_x,\,-g_y,\,1\big)\,dA,
onde dA é a área projetada no plano xy. Aqui g_x=\frac{\partial}{\partial x}(2-x)=-1 e g_y=0. Então
\mathbf{n}\,dS=\big(-(-1),\,-0,\,1\big)\,dA=(1,0,1)\,dA.
Esta escolha tem componente z positiva, logo é compatível com a orientação anti-horária vista de cima.

Passo 5

Determinar a região projetada D no plano xy (a projeção de S). Substituo z=2-x na equação do elipsoide para achar a curva limite em xy:
x^{2}+2y^{2}+z^{2}=4\quad\Rightarrow\quad x^{2}+2y^{2}+(2-x)^{2}=4.
Faço as contas passo a passo:
x^{2}+2y^{2}+4-4x+x^{2}=4\quad\Rightarrow\quad 2x^{2}-4x+2y^{2}=0.
Dividindo por 2:
x^{2}-2x+y^{2}=0.
Completo o quadrado em x:
(x-1)^{2}-1+y^{2}=0\quad\Rightarrow\quad (x-1)^{2}+y^{2}=1.
Portanto a projeção D é o disco no plano xy de centro (1,0) e raio 1. A área de D é \pi\cdot 1^{2}=\pi.

Passo 6

Calcular o integrando (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n} avaliando \nabla\times\mathbf{F} sobre S (ou seja, com z=2-x) e fazendo o produto com \mathbf{n}\,dS=(1,0,1)\,dA. Primeiro substituo z=2-x na expressão do rotacional:
\nabla\times\mathbf{F}\big|_{S}=\Big(0,\;2(2-x)\,e^{(2-x)^{2}}-2x\,e^{x^{2}},\;-1\Big).
Agora faço o produto escalar com (1,0,1):
\big(0,\;2(2-x)\,e^{(2-x)^{2}}-2x\,e^{x^{2}},\;-1\big)\cdot(1,0,1)=0\cdot1+(\cdots)\cdot0+(-1)\cdot1=-1.
Surpresa agradável: o termo complicado some porque a segunda componente do normal é zero, e a primeira componente do rotacional é zero, restando apenas -1. Portanto o integrando é a constante -1.

Passo 7

Avaliar a integral de superfície: como o integrando é constante -1, temos
\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS=\iint_{D}(-1)\,dA=-1\cdot\text{Área}(D)=-1\cdot\pi=-\pi.Á
Isto por Stokes é igual à integral de linha pedida.

Resposta

-\pi

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