Das equações abaixo, assinale as que podem ser equações de planos.
g)
g)
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede para assinalar se ela pode ser uma equação de um plano. Informação relevante: temos uma equação linear envolvendo as variáveis
. A pergunta é somente “pode ser equação de um plano?” (sim ou não).
Passo 2
Vamos primeiro reorganizar a equação para a forma padrão de uma equação linear em
. Subtraindo
dos dois lados obtemos:
Mostrei a subtração de
explicitamente:
.
Passo 3
Agora lembro a forma geral de uma equação de plano em
:
onde
,
e
são os coeficientes que formam o vetor normal ao plano:
. A condição para que essa equação represente realmente um plano é que o vetor normal não seja o vetor nulo, ou seja, que nem todos
sejam zero. Se
então a equação vira
(ou uma contradição), e não define um plano em
.
Passo 4
Comparando a nossa equação
com a forma geral, os coeficientes são
,
,
. O vetor normal é
Esse vetor não é o vetor nulo (pelo menos um dos componentes é diferente de zero), portanto a equação define um plano em
.
Passo 5
Para consolidar a ideia: qualquer equação linear não-trivial em
(isto é, com pelo menos um dos coeficientes de
diferente de zero) representa um plano. Se quiser, podemos também escrever a equação multiplicada por
para ficar com coeficientes positivos:
que representa o mesmo plano. Um ponto fácil que está no plano pode ser obtido, por exemplo, fixando
e
: substituindo em
obtemos
, logo
pertence ao plano — só para ter uma intuição concreta.
Resposta
g) Sim.