Das equações abaixo, assinale as que podem ser equações de planos.
g) -4 x+2 z-3 y+10=2

Passo 1

O enunciado dá a equação
-4 x + 2 z - 3 y + 10 = 2
e pede para assinalar se ela pode ser uma equação de um plano. Informação relevante: temos uma equação linear envolvendo as variáveis (x,y,z). A pergunta é somente “pode ser equação de um plano?” (sim ou não).

Passo 2

Vamos primeiro reorganizar a equação para a forma padrão de uma equação linear em (x,y,z). Subtraindo 2 dos dois lados obtemos:
-4x -3y +2z +8 = 0.
Mostrei a subtração de 2 explicitamente: 10-2=8.

Passo 3

Agora lembro a forma geral de uma equação de plano em \mathbb{R}^3:
a x + b y + c z + d = 0,
onde a, b e c são os coeficientes que formam o vetor normal ao plano: \mathbf{n}=(a,b,c). A condição para que essa equação represente realmente um plano é que o vetor normal não seja o vetor nulo, ou seja, que nem todos a,b,c sejam zero. Se a=b=c=0 então a equação vira d=0 (ou uma contradição), e não define um plano em \mathbb{R}^3.

Passo 4

Comparando a nossa equação
-4x -3y +2z +8 = 0
com a forma geral, os coeficientes são a=-4, b=-3, c=2. O vetor normal é
\mathbf{n}=(-4,-3,2).
Esse vetor não é o vetor nulo (pelo menos um dos componentes é diferente de zero), portanto a equação define um plano em \mathbb{R}^3.

Passo 5

Para consolidar a ideia: qualquer equação linear não-trivial em x,y,z (isto é, com pelo menos um dos coeficientes de x,y,z diferente de zero) representa um plano. Se quiser, podemos também escrever a equação multiplicada por -1 para ficar com coeficientes positivos:
4x + 3y - 2z - 8 = 0,
que representa o mesmo plano. Um ponto fácil que está no plano pode ser obtido, por exemplo, fixando y=0 e z=0: substituindo em -4x-3\cdot0+2\cdot0+8=0 obtemos x=2, logo (2,0,0) pertence ao plano — só para ter uma intuição concreta.

Resposta

g) Sim.

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