Um corpo de massa m cai de uma altura z_{o} sob a influência da gravidade e de uma força de resistência do ar expressa por F_{R A}=-b v, onde b é uma constante e v a componente vertical da velocidade do corpo. Mostre que em um instante t após o início do movimento a aceleração a(t), a velocidade v(t) e a posição z(t) do corpo são expressos por:
O enunciado pede para mostrar que, para um corpo de massa m que cai sob a gravidade e sob uma força de resistência do ar dada por F_{RA}=-b v, as grandezas aceleração a(t), velocidade v(t) e posição z(t) no instante t valem as fórmulas indicadas. Informações e condições fornecidas (ou implicitamente usadas):
A massa do corpo é \,m.
A gravidade é \,g (vetor apontando para baixo).
A força de resistência do ar é \,F_{RA}=-b v, com b constante e v a componente vertical da velocidade (o sinal já indica que a força se opõe ao movimento).
A posição inicial é \,z(0)=z_{o}.
O corpo “cai” a partir do repouso, então assumimos \,v(0)=0.
O objetivo é obter expressões para a(t), v(t) e z(t) em função de t, e obter a forma dada no enunciado (incluindo a presença de v_{T}, que será identificada como velocidade terminal).
Passo 2
Definimos convenções de sinal e escrevemos a segunda lei de Newton. Vou tomar o eixo vertical com sentido positivo para cima (convenção comum em exercícios assim). Assim:
A gravidade é uma força para baixo com módulo mg, logo escrita como -mg.
A resistência do ar, pela definição do enunciado, é -b v (sempre oposta à velocidade).
Aplicando a segunda lei de Newton na direção vertical:
m\frac{dv}{dt} = \text{(soma das forças na vertical)} = -mg - b v.
Explico: m\frac{dv}{dt} é a massa vezes a aceleração; as forças que atuam são o peso -mg e o arrasto -b v. Essa equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem para v(t).
Passo 3
Colocamos a equação diferencial em uma forma padrão para resolver:
m\frac{dv}{dt} + b v = -mg.
Dividindo por m para ficar na forma usual:
\frac{dv}{dt} + \frac{b}{m} v = -g.
Aqui \frac{b}{m} é uma constante com dimensão de inverso de tempo; vou chamar \displaystyle k=\frac{b}{m} para simplificar a escrita quando conveniente (ao final substituo k por b/m).
Passo 4
Resolveremos a equação linear de primeira ordem usando o fator integrante. A equação é
\frac{dv}{dt} + k v = -g.
O fator integrante é \mu(t)=e^{\int k\,dt}=e^{k t}. Multiplicando a equação por \mu(t) obtemos:
e^{k t}\frac{dv}{dt} + k e^{k t} v = -g e^{k t}.
O lado esquerdo é a derivada do produto v e^{k t}, pois \frac{d}{dt}\big(v e^{k t}\big)=e^{k t}\frac{dv}{dt}+k e^{k t} v. Então
\frac{d}{dt}\big(v e^{k t}\big) = -g e^{k t}.
Passo 5
Integramos ambos os lados no intervalo de 0 a t. A integral do lado direito é direta:
Interpretamos e identificamos a velocidade terminal. Note que -\dfrac{g}{k} = -\dfrac{g}{b/m} = -\dfrac{m g}{b}. Definimos a velocidade terminal (no sentido para baixo, por isso negativa com nossa convenção de eixo para cima) por
v_{T} = -\frac{m g}{b}.
Substituindo \dfrac{g}{k}=\dfrac{m g}{b}=-v_{T} na expressão anterior obtemos a forma elegante pedida:
v(t) = v_{T}\left(1 - e^{-\frac{b}{m}t}\right).
Observação intuitiva: v_{T} é a velocidade quando o termo transiente exponencial já morreu (t\to\infty), ou seja a velocidade terminal onde peso e arrasto se equilibram.
Passo 7
Agora encontramos a aceleração a(t) lembrando que a(t)=\dfrac{dv}{dt}. Podemos derivar a expressão de v(t) diretamente:
Substituindo v_{T}=-\dfrac{m g}{b} e k=\dfrac{b}{m} temos v_{T}k = -g. Portanto
a(t) = -g e^{-\frac{b}{m}t}.
Isso coincide com a fórmula pedida. Interpretação: a aceleração começa em -g (no instante inicial t=0 temos a(0)=-g) e decai exponencialmente para zero quando o corpo alcança a velocidade terminal.
Passo 8
Para obter z(t) integramos v(t) pois \dfrac{dz}{dt}=v(t). Usamos v(t)=v_{T}\left(1 - e^{-k t}\right) e z(0)=z_{o}. Integramos de 0 a t: