Uma massa m é colocada na parte interna de uma calota esférica de raio R que gira com velocidade angular w em torno do seu eixo de simetria. Calcule: a) a força normal exercida pela calota sobre a esfera; b) o raio da trajetória da massa quando a mesma fica estacionária em relação à calota. \left(\right. Resp. a) \left.\left.N=m w^{2} R ; b\right) r=\sqrt{R^{2}-\frac{g^{2}}{w^{4}}}\right)

Passo 1

O enunciado dá uma massa m colocada na parte interna de uma calota esférica de raio R que gira com velocidade angular \omega em torno do seu eixo. A massa fica estacionária em relação à calota (ou seja, corre junto com a calota, descrevendo um movimento circular em torno do eixo). Pedidos:
  • (a) calcular a força normal N que a calota exerce sobre a massa;
  • (b) calcular o raio r da trajetória horizontal da massa quando ela fica estacionária em relação à calota.
Informações relevantes extraídas da figura / do enunciado: o raio da calota é R e a velocidade angular de rotação é \omega. Vou usar essas duas grandezas tal como aparecem no enunciado/figura.

Passo 2

Primeiro vamos entender quais forças atuam sobre a massa e a geometria do problema, devagarinho como gosto de explicar. Forças:
  • o peso m g, vertical para baixo;
  • a força normal N, que atua perpendicularmente à superfície da calota (ou seja, ao longo do raio da esfera que liga o centro da calota à posição da massa).
Geometria: seja \theta o ângulo entre o eixo vertical e o raio que vai do centro da calota até a massa (ou seja, \theta é o “colatitude” da posição). A distância horizontal da massa ao eixo de rotação (o raio da trajetória circular que a massa descreve) é
r = R\sin\theta.
Como a massa está fixa em relação à calota, ela faz um movimento circular uniforme de raio r com velocidade angular \omega, portanto precisa de uma força centrípeta horizontal de módulo m\omega^{2}r direcionada para o eixo.
Vou agora decompor a normal nas componentes horizontal e vertical — isso é o passo chave.

Passo 3

Componente horizontal da normal: a normal é perpendicular à superfície e, geometricamente, forma um ângulo \theta com a vertical; a componente horizontal (na direção radial para o eixo) tem módulo N\sin\theta. Essa componente horizontal é a única força que tem uma componente na direção do centro do movimento circular (as outras são verticais ou inexistentes horizontalmente), portanto ela fornece a força centrípeta necessária:
N\sin\theta = m\omega^{2}r.
Lembrando que r=R\sin\theta, substituímos:
N\sin\theta = m\omega^{2} (R\sin\theta).
Se \sin\theta\neq 0 (caso não-trivial em que a massa não está exatamente no eixo), podemos cancelar \sin\theta dos dois lados e obtemos
N = m\omega^{2}R.
Observação didática: o cancelamento de \sin\theta significa que, para qualquer posição com 0<\theta<\pi onde a massa esteja em equilíbrio lateral, a normal tem esse mesmo valor. O caso \sin\theta=0 corresponde à massa no eixo ( r=0), que é um caso particular (aqui a componente centrípeta seria zero).

Passo 4

Componente vertical da normal: a componente vertical da normal (para cima) é N\cos\theta. Como a massa não tem aceleração vertical, a componente vertical da força resultante deve ser zero, ou seja, a componente vertical da normal equilibra o peso:
N\cos\theta = mg.
Agora substituímos o valor de N encontrado no passo anterior:
(m\omega^{2}R)\cos\theta = mg.
Cancelando m em ambos os lados:
\omega^{2}R\cos\theta = g,
ou
\cos\theta = \frac{g}{\omega^{2}R}.
Isso dá a condição para existir solução física: é preciso que \dfrac{g}{\omega^{2}R}\le 1, isto é, \omega^{2}\ge \dfrac{g}{R}. (Se \omega for muito pequeno não há posição com a massa estacionária fora do eixo.)

Passo 5

Finalmente calculamos o raio da trajetória r. Usando r=R\sin\theta e \sin^{2}\theta=1-\cos^{2}\theta, temos
r = R\sin\theta = R\sqrt{1-\cos^{2}\theta} = R\sqrt{1-\left(\frac{g}{\omega^{2}R}\right)^{2}}.
Simplificando:
r = \sqrt{R^{2}-\frac{g^{2}}{\omega^{4}} }.
Isso fecha o raciocínio: primeiro achamos N pela componente horizontal que fornece a força centrípeta; depois usamos a componente vertical para relacionar \theta e daí obter r.

Resposta

N=m\omega^{2}R\n
r=\sqrt{R^{2}-\dfrac{g^{2}}{\omega^{4}}}

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