Uma massa
é colocada na parte interna de uma calota esférica de raio R que gira com velocidade angular
em torno do seu eixo de simetria. Calcule: a) a força normal exercida pela calota sobre a esfera; b) o raio da trajetória da massa quando a mesma fica estacionária em relação à calota.
Resp. a)
Passo 1
O enunciado dá uma massa
colocada na parte interna de uma calota esférica de raio
que gira com velocidade angular
em torno do seu eixo. A massa fica estacionária em relação à calota (ou seja, corre junto com a calota, descrevendo um movimento circular em torno do eixo). Pedidos:
- (a) calcular a força normal
que a calota exerce sobre a massa; - (b) calcular o raio
da trajetória horizontal da massa quando ela fica estacionária em relação à calota.
Informações relevantes extraídas da figura / do enunciado: o raio da calota é
e a velocidade angular de rotação é
. Vou usar essas duas grandezas tal como aparecem no enunciado/figura.
Passo 2
Primeiro vamos entender quais forças atuam sobre a massa e a geometria do problema, devagarinho como gosto de explicar. Forças:
- o peso
, vertical para baixo; - a força normal
, que atua perpendicularmente à superfície da calota (ou seja, ao longo do raio da esfera que liga o centro da calota à posição da massa).
Geometria: seja
o ângulo entre o eixo vertical e o raio que vai do centro da calota até a massa (ou seja,
é o “colatitude” da posição). A distância horizontal da massa ao eixo de rotação (o raio da trajetória circular que a massa descreve) é
Como a massa está fixa em relação à calota, ela faz um movimento circular uniforme de raio
com velocidade angular
, portanto precisa de uma força centrípeta horizontal de módulo
direcionada para o eixo.
Vou agora decompor a normal nas componentes horizontal e vertical — isso é o passo chave.
Passo 3
Componente horizontal da normal: a normal é perpendicular à superfície e, geometricamente, forma um ângulo
com a vertical; a componente horizontal (na direção radial para o eixo) tem módulo
. Essa componente horizontal é a única força que tem uma componente na direção do centro do movimento circular (as outras são verticais ou inexistentes horizontalmente), portanto ela fornece a força centrípeta necessária:
Lembrando que
, substituímos:
Se
(caso não-trivial em que a massa não está exatamente no eixo), podemos cancelar
dos dois lados e obtemos
Observação didática: o cancelamento de
significa que, para qualquer posição com
onde a massa esteja em equilíbrio lateral, a normal tem esse mesmo valor. O caso
corresponde à massa no eixo (
), que é um caso particular (aqui a componente centrípeta seria zero).
Passo 4
Componente vertical da normal: a componente vertical da normal (para cima) é
. Como a massa não tem aceleração vertical, a componente vertical da força resultante deve ser zero, ou seja, a componente vertical da normal equilibra o peso:
Agora substituímos o valor de
encontrado no passo anterior:
Cancelando
em ambos os lados:
ou
Isso dá a condição para existir solução física: é preciso que
, isto é,
. (Se
for muito pequeno não há posição com a massa estacionária fora do eixo.)
Passo 5
Finalmente calculamos o raio da trajetória
. Usando
e
, temos
Simplificando:
Isso fecha o raciocínio: primeiro achamos
pela componente horizontal que fornece a força centrípeta; depois usamos a componente vertical para relacionar
e daí obter
.