Analise as seguintes afirmações acerca de torque e momento angular.
I. O momento angular de um corpo pode se conservar caso atuem nele forças externas;
II. Se o centro de massa de um corpo está em repouso em relação a um ponto
, então o momento angular desse corpo, em relação à
, é nulo;
III. Para que o momento angular de um sistema se conserve, é necessário que a força externa resultante sobre o sistema seja nula.
Estão sempre corretas as afirmações:
(a) todas estão corretas;
(b) nenhuma está correta.
(c) apenas II;
(d) apenas I;
(e) apenas III;
I. O momento angular de um corpo pode se conservar caso atuem nele forças externas;
II. Se o centro de massa de um corpo está em repouso em relação a um ponto
III. Para que o momento angular de um sistema se conserve, é necessário que a força externa resultante sobre o sistema seja nula.
Estão sempre corretas as afirmações:
(a) todas estão corretas;
(b) nenhuma está correta.
(c) apenas II;
(d) apenas I;
(e) apenas III;
Passo 1
O enunciado apresenta três afirmações sobre momento angular (momentum angular) e pede que identifiquemos quais estão sempre corretas:
I. O momento angular de um corpo pode se conservar caso atuem nele forças externas;
II. Se o centro de massa de um corpo está em repouso em relação a um ponto , então o momento angular desse corpo, em relação a
, é nulo;
III. Para que o momento angular de um sistema se conserve, é necessário que a força externa resultante sobre o sistema seja nula.
I. O momento angular de um corpo pode se conservar caso atuem nele forças externas;
II. Se o centro de massa de um corpo está em repouso em relação a um ponto
III. Para que o momento angular de um sistema se conserve, é necessário que a força externa resultante sobre o sistema seja nula.
Informações relevantes fornecidas: as três afirmações (I, II, III) e a pergunta de quais delas são sempre corretas (alternativas (a)–(e)). A resolução precisa justificar a verdade/falsidade de cada afirmação.
Passo 2
Definição e relação fundamental que vamos usar: para um sistema de partículas, o momento angular total em relação a um ponto de referência (origem ou
) é
onde
é o vetor posição da partícula
em relação a
e
é o momento linear da partícula
(ou seja
). Agora derivamos essa quantidade no tempo. Diferenciando,
Usando a regra do produto para derivada de produto vetorial e
(força total sobre
),
Mas
, então
Separando forças totais em externas e internas,
. Pelas propriedades das forças internas (ação e reação e, em muitos casos, forças centrais entre pares), as contribuições internas somam-se a zero no total de torques do sistema; portanto obtemos a forma útil
onde
é o torque (momento de força) resultante das forças externas em relação ao ponto
. Esta é a relação-chave: variação do momento angular = torque externo resultante.
(Nas contas acima:
é posição relativa a
,
velocidade,
massa,
força externa sobre a partícula
, e
força de
sobre
.)
Passo 3
Análise da afirmação I: “O momento angular de um corpo pode se conservar caso atuem nele forças externas.”
Pela relação encontrada,
Se as forças externas produzem torque resultante nulo, isto é
, então
e o momento angular se conserva. Note que isso permite forças externas NÃO nulas; o que importa é que o torque resultante seja zero. Portanto a frase I é verdadeira: a presença de forças externas não impede, por si só, a conservação de
— o que importa é o torque resultante. Exemplo concreto (didático): uma partícula sujeita a uma força central
tem
, logo
se conserva mesmo havendo força externa.
Passo 4
Análise da afirmação II: “Se o centro de massa de um corpo está em repouso em relação a um ponto
, então o momento angular desse corpo, em relação à
, é nulo.”
Usamos a decomposição do momento angular total de um sistema (ou corpo rígido) em termos do centro de massa:
onde
é a posição do centro de massa em relação a
,
é o momento linear total (com
massa total e
velocidade do centro de massa), e
é o momento angular relativo ao centro de massa (o “spin” interno).
Se o centro de massa está em repouso em relação a
, isso significa
, então
e o primeiro termo
é nulo. Porém fica o termo
, que pode ser diferente de zero se o corpo estiver girando em torno do centro de massa. Assim, o fato de o centro de massa estar em repouso NÃO garante que
. Contraexemplo simples e clássico: um disco rígido girando em torno de seu eixo cujo centro de massa está parado em relação a
; o disco tem momento angular não nulo em relação a
(o “spin” é
). Logo a afirmação II é falsa.
Passo 5
Análise da afirmação III: “Para que o momento angular de um sistema se conserve, é necessário que a força externa resultante sobre o sistema seja nula.”
A condição necessária e suficiente para conservação do momento angular (em relação a um ponto fixo
) é que o torque externo resultante seja nulo:
A afirmação III confunde torque com força resultante. A força externa resultante
pode ser diferente de zero enquanto o torque externo resultante
seja zero; nesse caso
se conserva apesar da força externa resultante não ser zero. Exemplo concreto: uma partícula sob uma força dirigida ao ponto
(força central) tem
em geral, mas
, portanto
se conserva. Outro exemplo para mostrar que força resultante nula não garante conservação: duas forças iguais e opostas aplicadas em pontos distintos podem ter resultante nula mas produzir um torque (um par de forças) diferente de zero, fazendo
. Conclusão: a força externa resultante ser nula não é uma condição necessária (nem suficiente) para conservação de
; o que importa é o torque externo resultante. Portanto III é falsa.
Passo 6
Conclusão por comparação das três afirmações:
- I é verdadeira (forças externas podem existir e ainda assim
ser conservado se o torque resultante for zero); - II é falsa (centro de massa parado não implica momento angular nulo, pois pode haver rotação interna);
- III é falsa (conservação de
exige torque externo nulo, não força resultante nula).
Logo apenas a afirmação I está sempre correta.
Resposta
(d)