Analise as seguintes afirmações acerca de torque e momento angular.
I. O momento angular de um corpo pode se conservar caso atuem nele forças externas;
II. Se o centro de massa de um corpo está em repouso em relação a um ponto O, então o momento angular desse corpo, em relação à O, é nulo;
III. Para que o momento angular de um sistema se conserve, é necessário que a força externa resultante sobre o sistema seja nula.
Estão sempre corretas as afirmações:
(a) todas estão corretas;
(b) nenhuma está correta.
(c) apenas II;
(d) apenas I;
(e) apenas III;

Passo 1

O enunciado apresenta três afirmações sobre momento angular (momentum angular) e pede que identifiquemos quais estão sempre corretas:
I. O momento angular de um corpo pode se conservar caso atuem nele forças externas;
II. Se o centro de massa de um corpo está em repouso em relação a um ponto O, então o momento angular desse corpo, em relação a O, é nulo;
III. Para que o momento angular de um sistema se conserve, é necessário que a força externa resultante sobre o sistema seja nula.
Informações relevantes fornecidas: as três afirmações (I, II, III) e a pergunta de quais delas são sempre corretas (alternativas (a)–(e)). A resolução precisa justificar a verdade/falsidade de cada afirmação.

Passo 2

Definição e relação fundamental que vamos usar: para um sistema de partículas, o momento angular total em relação a um ponto de referência (origem ou O) é
\mathbf{L}=\sum_{i}\mathbf{r}_i\times\mathbf{p}_i,
onde \mathbf{r}_i é o vetor posição da partícula i em relação a O e \mathbf{p}_i é o momento linear da partícula i (ou seja \mathbf{p}_i = m_i\mathbf{v}_i). Agora derivamos essa quantidade no tempo. Diferenciando,
\frac{d\mathbf{L}}{dt}=\sum_i \frac{d}{dt}(\mathbf{r}_i\times\mathbf{p}_i).
Usando a regra do produto para derivada de produto vetorial e \dot{\mathbf{p}}_i=\mathbf{F}_i^{\text{tot}} (força total sobre i),
\frac{d\mathbf{L}}{dt}=\sum_i \mathbf{v}_i\times\mathbf{p}_i + \sum_i \mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_i^{\text{tot}}.
Mas \mathbf{v}_i\times\mathbf{p}_i = \mathbf{v}_i\times(m_i\mathbf{v}_i)=\mathbf{0}, então
\frac{d\mathbf{L}}{dt}=\sum_i \mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_i^{\text{tot}}.
Separando forças totais em externas e internas, \mathbf{F}_i^{\text{tot}}=\mathbf{F}_i^{\text{ext}}+\sum_{j\neq i}\mathbf{F}_{ij}. Pelas propriedades das forças internas (ação e reação e, em muitos casos, forças centrais entre pares), as contribuições internas somam-se a zero no total de torques do sistema; portanto obtemos a forma útil
\frac{d\mathbf{L}}{dt}=\sum_i \mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_i^{\text{ext}}=\boldsymbol{\tau}_{\text{ext}},
onde \boldsymbol{\tau}_{\text{ext}} é o torque (momento de força) resultante das forças externas em relação ao ponto O. Esta é a relação-chave: variação do momento angular = torque externo resultante.
(Nas contas acima: \mathbf{r}_i é posição relativa a O, \mathbf{v}_i velocidade, m_i massa, \mathbf{F}_i^{\text{ext}} força externa sobre a partícula i, e \mathbf{F}_{ij} força de j sobre i.)

Passo 3

Análise da afirmação I: “O momento angular de um corpo pode se conservar caso atuem nele forças externas.”
Pela relação encontrada,
\frac{d\mathbf{L}}{dt}=\boldsymbol{\tau}_{\text{ext}}.
Se as forças externas produzem torque resultante nulo, isto é \boldsymbol{\tau}_{\text{ext}}=\mathbf{0}, então \dfrac{d\mathbf{L}}{dt}=\mathbf{0} e o momento angular se conserva. Note que isso permite forças externas NÃO nulas; o que importa é que o torque resultante seja zero. Portanto a frase I é verdadeira: a presença de forças externas não impede, por si só, a conservação de \mathbf{L} — o que importa é o torque resultante. Exemplo concreto (didático): uma partícula sujeita a uma força central \mathbf{F}(r)=f(r)\,\hat{\mathbf r} tem \mathbf{r}\times\mathbf{F}=\mathbf{0}, logo \mathbf{L} se conserva mesmo havendo força externa.

Passo 4

Análise da afirmação II: “Se o centro de massa de um corpo está em repouso em relação a um ponto O, então o momento angular desse corpo, em relação à O, é nulo.”
Usamos a decomposição do momento angular total de um sistema (ou corpo rígido) em termos do centro de massa:
\mathbf{L}=\mathbf{R}_{\text{CM}}\times \mathbf{P}_{\text{tot}}+\mathbf{L}_{\text{CM}},
onde \mathbf{R}_{\text{CM}} é a posição do centro de massa em relação a O, \mathbf{P}_{\text{tot}}=M\mathbf{V}_{\text{CM}} é o momento linear total (com M massa total e \mathbf{V}_{\text{CM}} velocidade do centro de massa), e \mathbf{L}_{\text{CM}} é o momento angular relativo ao centro de massa (o “spin” interno).
Se o centro de massa está em repouso em relação a O, isso significa \mathbf{V}_{\text{CM}}=\mathbf{0}, então \mathbf{P}_{\text{tot}}=\mathbf{0} e o primeiro termo \mathbf{R}_{\text{CM}}\times \mathbf{P}_{\text{tot}} é nulo. Porém fica o termo \mathbf{L}_{\text{CM}}, que pode ser diferente de zero se o corpo estiver girando em torno do centro de massa. Assim, o fato de o centro de massa estar em repouso NÃO garante que \mathbf{L}=\mathbf{0}. Contraexemplo simples e clássico: um disco rígido girando em torno de seu eixo cujo centro de massa está parado em relação a O; o disco tem momento angular não nulo em relação a O (o “spin” é \mathbf{L}_{\text{CM}}\neq\mathbf{0}). Logo a afirmação II é falsa.

Passo 5

Análise da afirmação III: “Para que o momento angular de um sistema se conserve, é necessário que a força externa resultante sobre o sistema seja nula.”
A condição necessária e suficiente para conservação do momento angular (em relação a um ponto fixo O) é que o torque externo resultante seja nulo:
\frac{d\mathbf{L}}{dt}=\boldsymbol{\tau}_{\text{ext}}=\mathbf{0}.
A afirmação III confunde torque com força resultante. A força externa resultante \sum_i \mathbf{F}_i^{\text{ext}} pode ser diferente de zero enquanto o torque externo resultante \sum_i \mathbf{r}_i\times\mathbf{F}_i^{\text{ext}} seja zero; nesse caso \mathbf{L} se conserva apesar da força externa resultante não ser zero. Exemplo concreto: uma partícula sob uma força dirigida ao ponto O (força central) tem \sum\mathbf{F}^{\text{ext}}\neq\mathbf{0} em geral, mas \mathbf{r}\times\mathbf{F}=\mathbf{0}, portanto \mathbf{L} se conserva. Outro exemplo para mostrar que força resultante nula não garante conservação: duas forças iguais e opostas aplicadas em pontos distintos podem ter resultante nula mas produzir um torque (um par de forças) diferente de zero, fazendo \frac{d\mathbf{L}}{dt}\neq\mathbf{0}. Conclusão: a força externa resultante ser nula não é uma condição necessária (nem suficiente) para conservação de \mathbf{L}; o que importa é o torque externo resultante. Portanto III é falsa.

Passo 6

Conclusão por comparação das três afirmações:
  • I é verdadeira (forças externas podem existir e ainda assim \mathbf{L} ser conservado se o torque resultante for zero);
  • II é falsa (centro de massa parado não implica momento angular nulo, pois pode haver rotação interna);
  • III é falsa (conservação de \mathbf{L} exige torque externo nulo, não força resultante nula).
Logo apenas a afirmação I está sempre correta.

Resposta

(d)

Exercícios relacionados