Um corpo de massa
é conectado a uma mola de massa desprezível e constante elástica
. Deslocando a massa
da posição de equilíbrio, ela começa realizar um movimento periódico. É notório que a relação entre o período
das oscilações e a frequência angular
é:
, onde P uma constante, teoricamente
.
A partir disso é possível medir a constante elástica da mola,
, através de medições da massa
e do período de oscilação
, quando a massa é deslocada da posição de equilíbrio. Um observador primeiramente mede diferentes corpos de massas diferentes utilizando uma balança digital com resolução de 1 g e obtém os seguintes valores:
Sucessivamente ele mede o intervalo de tempo de 10 oscilações completas, utilizando um cronômetro digital cuja resolução é
, e obtém os seguintes valores:
Para obter o valor de
com maior exatidão e
e construir um gráfico de
em função de
. D e acordo com a dependência entre
e
, utilize o tipo de papel indicado, seja milimetrado ou di-log, conforme apropriado. Aplique o critério de ajuste da reta mais provável pelo método dos mínimos quadrados (MMQ) para determinar o valore de coeficientes angular da reta mais provável por este método, assim como sua incerteza. Com os resultados do MMQ, obter e traçar no gráfico a curva mais provável determinada pelo método de mínimos quadrados. Para isso, a partir dos valores encontrados para os coeficientes da reta pelo MMQ.
A partir disso é possível medir a constante elástica da mola,
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um corpo com massa $ m $ preso a uma mola com constante elástica $ k $. Quando a massa é puxada e solta, ela começa a oscilar de forma periódica. A relação entre o período das oscilações $ T $ e a frequência angular $ \omega $ é dada por $ \omega = \left(\frac{K}{m}\right)^{p} $, onde $ p = 0.5 $.
O objetivo aqui é determinar a constante elástica $ K $ da mola usando as medições das massas e dos períodos das oscilações. Além disso, precisamos construir um gráfico de $ T^2 $ em função de $ m $ e aplicar o método dos mínimos quadrados para encontrar a melhor reta que se ajusta aos dados.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento harmônico simples, relações entre período, massa e constante elástica da mola, e técnicas de ajuste de dados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como o período $ T $ está relacionado com a frequência angular $ \omega $. Sabemos que:
E também nos é dado que:
Vamos igualar as duas expressões para $ \omega $:
Agora, vamos resolver para $ T $:
Então, temos a relação entre o período $ T $, a massa $ m $ e a constante elástica $ K $:
Passo 3
Agora, vamos reorganizar essa equação para facilitar a análise gráfica. Vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
Dessa forma, temos uma relação linear entre $ T^2 $ e $ m $:
Isso significa que se plotarmos $ T^2 $ no eixo y e $ m $ no eixo x, a inclinação da reta será $ \frac{4\pi^2}{K} $.
Passo 4
Vamos agora converter as massas de gramas para quilogramas, já que as unidades do Sistema Internacional utilizam quilogramas para massa. As massas medidas são:
Convertendo para kg:
Portanto:
Passo 5
Em seguida, vamos calcular o período $ T $ para cada massa. Nós temos os tempos para 10 oscilações, então o período de uma oscilação é:
Os tempos medidos para 10 oscilações são:
Calculando $ T $ para cada caso:
Passo 6
Agora, vamos calcular $ T^2 $ para cada período encontrado:
Passo 7
Agora temos as tabelas de $ m $ (em kg) e $ T^2 $ (em s²):
Massa $ m $ (kg) | Tempo T para 10 oscilações (s) | Período $ T $ (s) | $ T^2 $ (s²) |
---|---|---|---|
0,103 | 7,43 | 0,743 | 0,552 |
0,153 | 9,17 | 0,917 | 0,840 |
0,203 | 10,43 | 1,043 | 1,088 |
0,253 | 11,74 | 1,174 | 1,378 |
0,303 | 13,01 | 1,301 | 1,683 |
0,353 | 14,06 | 1,406 | 1,979 |
Passo 8
Agora, vamos plotar o gráfico de $ T^2 $ em função de $ m $. Com base na relação linear que encontramos:
A inclinação dessa reta será $ \frac{4\pi^2}{K} $. Para encontrar $ K $, precisamos determinar essa inclinação usando o método dos mínimos quadrados.
Passo 9
Vamos aplicar o método dos mínimos quadrados (MMQ) para encontrar a melhor reta que se ajusta aos nossos dados. O MMQ nos ajuda a minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pela reta.
A forma geral da equação da reta é:
Onde:
- $ a $ é a inclinação da reta.
- $ b $ é o intercepto com o eixo y.
No nosso caso, esperamos que $ b $ seja próximo de zero, já que quando $ m = 0 $, $ T^2 $ também deve ser zero.
Os coeficientes $ a $ e $ b $ podem ser calculados pelas seguintes fórmulas:
Onde $ N $ é o número de pontos de dados, que aqui é 6.
Vamos calcular as somas necessárias:
Calculando cada termo:
Somando todos:
Calculando cada termo:
Somando todos:
Agora, aplicando as fórmulas:
Portanto, a equação da reta é aproximadamente:
Passo 10
Agora, vamos interpretar o valor da inclinação $ a $. Sabemos que:
Então, podemos resolver para $ K $:
Substituindo $ a \approx 6,785 s^2/kg $:
Agora, vamos considerar a incerteza na inclinação $ a $. Para isso, precisamos calcular a incerteza associada ao método dos mínimos quadrados. A incerteza na inclinação $ \Delta a $ pode ser estimada pela fórmula:
Onde $ \overline{m} $ é a média das massas. Calculando a média:
Agora, calculamos $ \sum (T^2 - a m - b)^2 $. Vamos calcular para cada ponto:
Para $ m = 0,103 $ kg:
Para $ m = 0,153 $ kg:
Para $ m = 0,203 $ kg:
Para $ m = 0,253 $ kg:
Para $ m = 0,303 $ kg:
Para $ m = 0,353 $ kg:
Somando todos esses valores:
Agora, calculamos $ \sum (m - \overline{m})^2 $:
Calculando cada termo:
Somando todos:
Agora, substituindo na fórmula da incerteza:
Passo 11
Agora que temos a inclinação $ a = 6,785 \pm 0,519 s^2/kg $, podemos calcular $ K $ e sua incerteza.
Calculando $ K $:
Calculando $ \Delta K $:
Então, temos:
Passo 12
Finalmente, vamos traçar a reta de melhor ajuste no gráfico de $ T^2 $ vs $ m $ usando os coeficientes obtidos pelo MMQ:
Esse gráfico deve mostrar os pontos experimentais e a reta que melhor se ajusta a eles, permitindo visualizar a relação linear entre $ T^2 $ e $ m $.
Resposta
A constante elástica da mola foi determinada como $ K = 5,81 \pm 0,45 N/m $ através da análise dos dados experimentais e aplicação do método dos mínimos quadrados no gráfico de $ T^2 $ em função de $ m $.