Um corpo de massa m é conectado a uma mola de massa desprezível e constante elástica k. Deslocando a massa m da posição de equilíbrio, ela começa realizar um movimento periódico. É notório que a relação entre o período T das oscilações e a frequência angular omega é: omega=(Km)^p, onde P uma constante, teoricamente P=0.5.
A partir disso é possível medir a constante elástica da mola, K[N / m], através de medições da massa m e do período de oscilação T, quando a massa é deslocada da posição de equilíbrio. Um observador primeiramente mede diferentes corpos de massas diferentes utilizando uma balança digital com resolução de 1 g e obtém os seguintes valores:
103 g; 153 g; 203 g; 253 g; 303 g; 353 g;
Sucessivamente ele mede o intervalo de tempo de 10 oscilações completas, utilizando um cronômetro digital cuja resolução é 0,01 s, e obtém os seguintes valores:
7,43 s ; 9,17 s ; 10,43 s ; 11,74 s ; 13,01 s ; 14,06 s
Para obter o valor de K com maior exatidão e P=0.5 e construir um gráfico de T^2 em função de m. D e acordo com a dependência entre T^2 e m, utilize o tipo de papel indicado, seja milimetrado ou di-log, conforme apropriado. Aplique o critério de ajuste da reta mais provável pelo método dos mínimos quadrados (MMQ) para determinar o valore de coeficientes angular da reta mais provável por este método, assim como sua incerteza. Com os resultados do MMQ, obter e traçar no gráfico a curva mais provável determinada pelo método de mínimos quadrados. Para isso, a partir dos valores encontrados para os coeficientes da reta pelo MMQ.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um corpo com massa $ m $ preso a uma mola com constante elástica $ k $. Quando a massa é puxada e solta, ela começa a oscilar de forma periódica. A relação entre o período das oscilações $ T $ e a frequência angular $ \omega $ é dada por $ \omega = \left(\frac{K}{m}\right)^{p} $, onde $ p = 0.5 $.
O objetivo aqui é determinar a constante elástica $ K $ da mola usando as medições das massas e dos períodos das oscilações. Além disso, precisamos construir um gráfico de $ T^2 $ em função de $ m $ e aplicar o método dos mínimos quadrados para encontrar a melhor reta que se ajusta aos dados.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento harmônico simples, relações entre período, massa e constante elástica da mola, e técnicas de ajuste de dados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como o período $ T $ está relacionado com a frequência angular $ \omega $. Sabemos que:
T
E também nos é dado que:
omega
Vamos igualar as duas expressões para $ \omega $:
omega = 2piT
Agora, vamos resolver para $ T $:
omega = (Km)^0.5
Então, temos a relação entre o período $ T $, a massa $ m $ e a constante elástica $ K $:
omega

Passo 3

Agora, vamos reorganizar essa equação para facilitar a análise gráfica. Vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
T^2 = (2pi)^2 mK = 4pi^2K m
Dessa forma, temos uma relação linear entre $ T^2 $ e $ m $:
T^2
Isso significa que se plotarmos $ T^2 $ no eixo y e $ m $ no eixo x, a inclinação da reta será $ \frac{4\pi^2}{K} $.

Passo 4

Vamos agora converter as massas de gramas para quilogramas, já que as unidades do Sistema Internacional utilizam quilogramas para massa. As massas medidas são:
103 g, 153 g, 203 g, 253 g, 303 g, 353 g
Convertendo para kg:
m (kg) = m (g)1000
Portanto:
0.103 kg, 0.153 kg, 0.203 kg, 0.253 kg, 0.303 kg, 0.353 kg

Passo 5

Em seguida, vamos calcular o período $ T $ para cada massa. Nós temos os tempos para 10 oscilações, então o período de uma oscilação é:
T çõ
Os tempos medidos para 10 oscilações são:
T = tempo total para 10 oscilações10
Calculando $ T $ para cada caso:
7,43 s; 9,17 s; 10,43 s; 11,74 s; 13,01 s; 14,06 s
T
T = 7,4310 = 0,743 s
T = 9,1710 = 0,917 s
T = 10,4310 = 1,043 s
T = 11,7410 = 1,174 s

Passo 6

Agora, vamos calcular $ T^2 $ para cada período encontrado:
T^2
T^2 = (0,743)^2 = 0,552 s^2
T^2 = (0,917)^2 = 0,840 s^2
T^2 = (1,043)^2 = 1,088 s^2
T^2 = (1,174)^2 = 1,378 s^2
T^2 = (1,301)^2 = 1,683 s^2

Passo 7

Agora temos as tabelas de $ m $ (em kg) e $ T^2 $ (em s²):
Massa $ m $ (kg) Tempo T para 10 oscilações (s) Período $ T $ (s) $ T^2 $ (s²)
0,103 7,43 0,743 0,552
0,153 9,17 0,917 0,840
0,203 10,43 1,043 1,088
0,253 11,74 1,174 1,378
0,303 13,01 1,301 1,683
0,353 14,06 1,406 1,979

Passo 8

Agora, vamos plotar o gráfico de $ T^2 $ em função de $ m $. Com base na relação linear que encontramos:
T^2
A inclinação dessa reta será $ \frac{4\pi^2}{K} $. Para encontrar $ K $, precisamos determinar essa inclinação usando o método dos mínimos quadrados.

Passo 9

Vamos aplicar o método dos mínimos quadrados (MMQ) para encontrar a melhor reta que se ajusta aos nossos dados. O MMQ nos ajuda a minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pela reta.
A forma geral da equação da reta é:
T^2 = a m + b
Onde:
  • $ a $ é a inclinação da reta.
  • $ b $ é o intercepto com o eixo y.
No nosso caso, esperamos que $ b $ seja próximo de zero, já que quando $ m = 0 $, $ T^2 $ também deve ser zero.
Os coeficientes $ a $ e $ b $ podem ser calculados pelas seguintes fórmulas:
a
b
Onde $ N $ é o número de pontos de dados, que aqui é 6.
Vamos calcular as somas necessárias:
b
m = 0
T^2
Calculando cada termo:
a
b
a = Nsum (m T^2) - sum m sum T^2N sum m^2 - (sum m)^2
b = sum T^2 - a sum mN
N
sum m = 0,103 + 0,153 + 0,203 + 0,253 + 0,303 + 0,353 = 1,268 kg
Somando todos:
sum T^2 = 0,552 + 0,840 + 1,088 + 1,378 + 1,683 + 1,979 = 6,520 s^2
sum (m T^2) = (0,103)(0,552) + (0,153)(0,840) + (0,203)(1,088) + (0,253)(1,378) + (0,303)(1,683) + (0,353)(1,979)
Calculando cada termo:
0,103 times 0,552 = 0,056856
0,153 times 0,840 = 0,12852
0,203 times 1,088 = 0,220544
0,253 times 1,378 = 0,348034
0,303 times 1,683 = 0,510249
0,353 times 1,979 = 0,698087
Somando todos:
sum (m T^2) = 0,056856 + 0,12852 + 0,220544 + 0,348034 + 0,510249 + 0,698087 approx 1,961 kg s^2
Agora, aplicando as fórmulas:
sum m^2 = (0,103)^2 + (0,153)^2 + (0,203)^2 + (0,253)^2 + (0,303)^2 + (0,353)^2
0,103^2 approx 0,010609
0,153^2 approx 0,023409
Portanto, a equação da reta é aproximadamente:
0,203^2 approx 0,041209

Passo 10

Agora, vamos interpretar o valor da inclinação $ a $. Sabemos que:
a
Então, podemos resolver para $ K $:
a = 4pi^2K
Substituindo $ a \approx 6,785 s^2/kg $:
K
Agora, vamos considerar a incerteza na inclinação $ a $. Para isso, precisamos calcular a incerteza associada ao método dos mínimos quadrados. A incerteza na inclinação $ \Delta a $ pode ser estimada pela fórmula:
K = 4pi^2a
Onde $ \overline{m} $ é a média das massas. Calculando a média:
a approx 6,785 s^2/kg
Agora, calculamos $ \sum (T^2 - a m - b)^2 $. Vamos calcular para cada ponto:
Para $ m = 0,103 $ kg:
K = 4pi^26,785 approx 39,4786,785 approx 5,81 N/m
a
Para $ m = 0,153 $ kg:
De
De
Para $ m = 0,203 $ kg:
m
m = 1,2686 approx 0,211 kg
Para $ m = 0,253 $ kg:
sum (T^2 - a m - b)^2
m = 0,103
Para $ m = 0,303 $ kg:
T^2calculado = 6,785 times 0,103 - 0,347 approx 0,698 - 0,347 = 0,351
(T^2observado - T^2calculado)^2 = (0,552 - 0,351)^2 approx 0,0407
Para $ m = 0,353 $ kg:
m = 0,153
T^2calculado = 6,785 times 0,153 - 0,347 approx 1,037 - 0,347 = 0,690
Somando todos esses valores:
(0,840 - 0,690)^2 approx 0,0225
Agora, calculamos $ \sum (m - \overline{m})^2 $:
m = 0,203
Calculando cada termo:
T^2calculado = 6,785 times 0,203 - 0,347 approx 1,376 - 0,347 = 1,029
(1,088 - 1,029)^2 approx 0,0039
m = 0,253
T^2calculado = 6,785 times 0,253 - 0,347 approx 1,715 - 0,347 = 1,368
(1,378 - 1,368)^2 approx 0,0001
m = 0,303
Somando todos:
T^2calculado = 6,785 times 0,303 - 0,347 approx 2,056 - 0,347 = 1,709
Agora, substituindo na fórmula da incerteza:
(1,683 - 1,709)^2 approx 0,0007

Passo 11

Agora que temos a inclinação $ a = 6,785 \pm 0,519 s^2/kg $, podemos calcular $ K $ e sua incerteza.
a = 6,785 pm 0,519 s^2/kg
Calculando $ K $:
K
Calculando $ \Delta K $:
K = 4pi^2a Rightarrow De
Então, temos:
K

Passo 12

Finalmente, vamos traçar a reta de melhor ajuste no gráfico de $ T^2 $ vs $ m $ usando os coeficientes obtidos pelo MMQ:
T^2
Esse gráfico deve mostrar os pontos experimentais e a reta que melhor se ajusta a eles, permitindo visualizar a relação linear entre $ T^2 $ e $ m $.

Resposta

A constante elástica da mola foi determinada como $ K = 5,81 \pm 0,45 N/m $ através da análise dos dados experimentais e aplicação do método dos mínimos quadrados no gráfico de $ T^2 $ em função de $ m $.

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