Um corpo de massa
desliza sobre um plano horizontal (eixo
) sem atrito sujeito a três forças: uma força elástica resultante da ação de uma mola de constante elástica
, uma força devido à resistência viscosa do meio, caracterizada pela constante de resistência viscosa
, e uma força externa periódica
, sendo
a frequência externa.
a) Considerando que
e
, calcule a frequência angular natural do sistema e o seu fator de qualidade
. [Sol:
1, respetivamente].
b) No regime estacionário, usando os valores do item anterior, determine o valor de
para o qual a amplitude do movimento é máxima. Obtenha também esse valor máximo da amplitude. [Sol:
e
, respetivamente].
a) Considerando que
b) No regime estacionário, usando os valores do item anterior, determine o valor de
Passo 1
O enunciado descreve um sistema massa-mola amortecido forçado: um bloco de massa
desliza sem atrito e está ligado a uma mola de constante
, sofre uma força viscosa
e é forçado por
Vamos aplicar a teoria de vibrações forçadas amortecidas. No item (a) calculamos a frequência natural
e o fator de qualidade
. No item (b) usamos a forma da amplitude no regime estacionário para achar a frequência que maximiza essa amplitude e o seu valor.
Passo 2
A frequência natural é dada por
Com
,kg e
,N/m temos
O coeficiente de amortecimento é
,kg/s. Definimos a razão de amortecimento
e o fator de qualidade
Substituindo os valores
Passo 3
No regime estacionário a amplitude
da oscilação satisfaz
Mostra-se que para um sistema levemente amortecido o pico de amplitude ocorre em
Aqui
, logo
Passo 4
Passo 5
A amplitude máxima resulta de
que, com
, dá