Um corpo de massa m desliza sobre um plano horizontal (eixo x ) sem atrito sujeito a três forças: uma força elástica resultante da ação de uma mola de constante elástica k, uma força devido à resistência viscosa do meio, caracterizada pela constante de resistência viscosa rho, e uma força externa periódica F(t)=F0 cos (Omega t) i, sendo Omega a frequência externa.
a) Considerando que m=50 kg, k=5000 N / m, F0=50 N e rho=500 kg / s, calcule a frequência angular natural do sistema e o seu fator de qualidade Q. [Sol: 10 s^-1 e 1, respetivamente].
b) No regime estacionário, usando os valores do item anterior, determine o valor de Omega para o qual a amplitude do movimento é máxima. Obtenha também esse valor máximo da amplitude. [Sol: 5 raiz2 s^-1 e 1 /(50 raiz3) m, respetivamente].

Passo 1

O enunciado descreve um sistema massa-mola amortecido forçado: um bloco de massa m desliza sem atrito e está ligado a uma mola de constante k, sofre uma força viscosa rho,dot x e é forçado por
F(t)=F0cos(Omega t),i
Vamos aplicar a teoria de vibrações forçadas amortecidas. No item (a) calculamos a frequência natural omega0 e o fator de qualidade Q. No item (b) usamos a forma da amplitude no regime estacionário para achar a frequência que maximiza essa amplitude e o seu valor.

Passo 2

A frequência natural é dada por
omega0=raizkm
Com m=50,kg e k=5000,N/m temos
omega0=raiz500050=raiz100=10 s^-1
O coeficiente de amortecimento é rho=500,kg/s. Definimos a razão de amortecimento
zeta=rho2,m,omega0
e o fator de qualidade
Q=12zeta=m,omega0rho
Substituindo os valores
zeta=5002cdot50cdot10=5001000=tfrac12, Q=12cdot12=1

Passo 3

No regime estacionário a amplitude A(Omega) da oscilação satisfaz
A(Omega) =F0/mraizl(omega0^2-Omega^2r)^2 +l(tfracrhom,Omegar)^2
Mostra-se que para um sistema levemente amortecido o pico de amplitude ocorre em
Omegar =omega0,raiz1-2zeta^2
Aqui zeta=tfrac12, logo

Passo 4

Omegar =10,raiz1-2l(tfrac12r)^2 =10,raiz1-tfrac12 =10,1raiz2 =5raiz2 s^-1

Passo 5

A amplitude máxima resulta de
Amax =F0/k2zeta,raiz1-zeta^2
que, com zeta=tfrac12, dá
Amax =F0/k2cdot12raiz1-tfrac14 =F0/kraiztfrac34 =F0k,2raiz3 =2cdot505000raiz3 =150raiz3 m

Resposta

omega0=10 s^-1, Q=1 Omegamax=5raiz2 s^-1, Amax=150raiz3 m

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