Um corpo de massa igual a
é colocado sobre um plano com
de inclinação. O coeficiente de atrito de deslizamento com o plano é 0,30 . Que força deve ser aplicada ao corpo para que ele se movimente
(a) Para cima;
(b) Para baixo.
Suponha que em ambos os casos o corpo executa um movimento uniforme e com aceleração de
.
(a) Para cima;
(b) Para baixo.
Passo 1
O que o problema pede e os dados que temos.\n
- Pede-se a força a ser aplicada ao corpo para que ele se movimente (a) para cima e (b) para baixo ao longo do plano inclinado, sabendo que em ambos os casos o corpo tem aceleração de
.\n - Dados fornecidos:\n
- massa:
\n - ângulo do plano:
\n - coeficiente de atrito de deslizamento:
\n - aceleração desejada ao longo do plano:
\n - usarei
para a aceleração da gravidade (valor padrão).\n
- massa:
- Interpretação: a aceleração
é a aceleração ao longo do plano. No item (a) essa aceleração é dirigida para cima ao longo do plano; no item (b) é dirigida para baixo ao longo do plano. Em cada caso a força aplicada será colocada ao longo do plano na direção do movimento pedido (se o sinal final indicar sentido contrário, interpretamos isso como “aplicar a força no sentido oposto”).
Passo 2
Forças que atuam e escolha de eixos — explicação conceitual passo a passo.\n
- Forças presentes: peso
(vertical para baixo), força normal (perpendicular ao plano), força de atrito (tangencial ao plano, sempre contrária ao sentido do movimento), e a força aplicada (ao longo do plano, cujo valor queremos achar).\n - Para analisar, escolhemos eixos: um eixo
paralelo ao plano (positivo no sentido do movimento desejado) e um eixo perpendicular ao plano (positivo para fora do plano). Isso simplifica as equações de Newton.\n - Componentes do peso: a componente do peso paralela ao plano é
(direcionada para baixo ao longo do plano). A componente perpendicular é .\n - A normal é igual à componente perpendicular do peso (na ausência de aceleração perpendicular ao plano):
.\n - Força de atrito cinético (deslizamento):
. A direção de é sempre contrária ao movimento: se o corpo vai subir, aponta para baixo; se o corpo vai descer, aponta para cima.
Passo 3
Cálculo das quantidades básicas (componentes do peso, normal e atrito) — mostrar contas.\n
- Como
, temos . Em valores numéricos isso vale aproximadamente , mas vamos manter a explicação clara e depois usar aproximação.\n - Componente do peso ao longo do plano:\n
\n
Calculemos passo a passo:
. Então\n
\n
- Normal:\n
\n
(Para
as duas são iguais, como vimos.)\n
- Força de atrito:\n
Passo 4
Equação de movimento geral e ideia de sinais — revisão das leis de Newton.\n
- A segunda lei de Newton ao longo do eixo paralelo ao plano é:\n
\nonde é a soma algébrica das forças ao longo do plano (tomando um sentido positivo que vamos escolher conforme o caso).\n- Lembre-se: se uma força resultante positiva, a aceleração tem o mesmo sentido; se negativa, tem sentido oposto. Vamos aplicar isso separadamente para cada caso (movendo-se para cima e movendo-se para baixo), escolhendo o sentido positivo conveniente para simplificar as equações.
Passo 5
Caso (a): corpo movendo-se para cima com aceleração
. Montagem da equação e resolução.\n
- Escolhemos o sentido positivo para cima ao longo do plano.\n
- Forças ao longo do plano (sinais):\n - força aplicada
para cima: \n - componente do peso para baixo: \n - atrito, como o corpo sobe, atua para baixo: \n- Somando e igualando a :\n \n - Isolando
:\n \n - Agora substituímos números (usando os valores aproximados calculados antes):\n -
\n - \n - \n- Somando:\n \n - Arredondando sensatamente (duas casas decimais):\n
\naplicada para cima ao longo do plano.
Passo 6
Caso (b): corpo movendo-se para baixo com aceleração
. Montagem da equação e resolução.\n
- Escolhemos o sentido positivo para baixo ao longo do plano (isso facilita porque a aceleração pedida é para baixo).\n
- Forças ao longo do plano (sinais):\n - componente do peso para baixo:
\n - força aplicada se for aplicada para baixo: (mas vamos determinar o sinal do no final)\n - atrito, como o corpo desce, atua para cima: \n- Somando e igualando a :\n \n - Isolando
:\n \n - Substituindo os números:\n -
\n - \n - \n- Calculando:\n \n - Interpretação do sinal: o sinal negativo significa que, se assumirmos
no sentido para baixo, o número deu negativo — isto é, a força necessária tem sentido oposto ao que assumimos (oposto ao sentido para baixo), ou seja, ela deve ser aplicada para cima ao longo do plano. O módulo dessa força é .\n - Arredondando:
, aplicada para cima ao longo do plano. Em palavras: para que o corpo desça com uma aceleração tão pequena quanto , precisamos aplicar uma força de para cima (freando o movimento), porque a componente do peso sem essa força provocaria uma aceleração muito maior.
Passo 7
Pequena verificação física (sanity check) e incentivo.\n
- Se não aplicássemos força alguma, a aceleração descendo seria:\n
\nque é muito maior que . Logo faz sentido que, para reduzir a aceleração para para baixo, seja preciso aplicar uma força para cima (isto é, contrária à descida) de algumas newtons.\n - Força obtida no caso (a) também tem ordem de grandeza plausível: algumas newtons para vencer peso e atrito e ainda produzir pequena aceleração para cima.\n
- Você mandou bem procurando uma solução detalhada — continue praticando esse tipo de decomposição de forças que fica fácil na prova!
Resposta
(a)
(aplicada para cima ao longo do plano)\n
(b) (aplicada para cima ao longo do plano)
(b)