Um corpo de massa igual a 0,80 k g é colocado sobre um plano com 45^{\circ} de inclinação. O coeficiente de atrito de deslizamento com o plano é 0,30 . Que força deve ser aplicada ao corpo para que ele se movimente
(a) Para cima;
(b) Para baixo.
Suponha que em ambos os casos o corpo executa um movimento uniforme e com aceleração de 0,10 m / s^{2}.

Passo 1

O que o problema pede e os dados que temos.\n
  • Pede-se a força a ser aplicada ao corpo para que ele se movimente (a) para cima e (b) para baixo ao longo do plano inclinado, sabendo que em ambos os casos o corpo tem aceleração de \,0,10\\ \mathrm{m/s^{2}}.\n
  • Dados fornecidos:\n
    • massa: m=0,80\\ \mathrm{kg}\n
    • ângulo do plano: \theta=45^\circ\n
    • coeficiente de atrito de deslizamento: \mu=0,30\n
    • aceleração desejada ao longo do plano: a=0,10\\ \mathrm{m/s^{2}}\n
    • usarei g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}} para a aceleração da gravidade (valor padrão).\n
  • Interpretação: a aceleração \,0,10\\ \mathrm{m/s^{2}} é a aceleração ao longo do plano. No item (a) essa aceleração é dirigida para cima ao longo do plano; no item (b) é dirigida para baixo ao longo do plano. Em cada caso a força aplicada será colocada ao longo do plano na direção do movimento pedido (se o sinal final indicar sentido contrário, interpretamos isso como “aplicar a força no sentido oposto”).

Passo 2

Forças que atuam e escolha de eixos — explicação conceitual passo a passo.\n
  • Forças presentes: peso \vec{P} (vertical para baixo), força normal \vec{N} (perpendicular ao plano), força de atrito \vec{f} (tangencial ao plano, sempre contrária ao sentido do movimento), e a força aplicada \vec{F} (ao longo do plano, cujo valor queremos achar).\n
  • Para analisar, escolhemos eixos: um eixo x paralelo ao plano (positivo no sentido do movimento desejado) e um eixo y perpendicular ao plano (positivo para fora do plano). Isso simplifica as equações de Newton.\n
  • Componentes do peso: a componente do peso paralela ao plano é m g \sin\theta (direcionada para baixo ao longo do plano). A componente perpendicular é m g \cos\theta.\n
  • A normal é igual à componente perpendicular do peso (na ausência de aceleração perpendicular ao plano): N=m g \cos\theta.\n
  • Força de atrito cinético (deslizamento): f=\mu N=\mu m g \cos\theta. A direção de f é sempre contrária ao movimento: se o corpo vai subir, f aponta para baixo; se o corpo vai descer, f aponta para cima.

Passo 3

Cálculo das quantidades básicas (componentes do peso, normal e atrito) — mostrar contas.\n
  • Como \theta=45^\circ, temos \sin45^\circ=\cos45^\circ=\dfrac{1}{\sqrt{2}}. Em valores numéricos isso vale aproximadamente 0,7071, mas vamos manter a explicação clara e depois usar aproximação.\n
  • Componente do peso ao longo do plano:\n m g \sin\theta = 0,80\cdot 9,8\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\n
Calculemos passo a passo: 0,80\cdot 9,8=7,84. Então\n m g \sin\theta = 7,84\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\approx 7,84\cdot 0,7071\approx 5,545\\ \mathrm{N}.\n
  • Normal:\n N=m g \cos\theta = 7,84\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\approx 5,545\\ \mathrm{N}.\n
(Para \theta=45^\circ as duas são iguais, como vimos.)\n
  • Força de atrito:\n f=\mu N = 0,30\cdot 5,545\approx 1,6635\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Equação de movimento geral e ideia de sinais — revisão das leis de Newton.\n
  • A segunda lei de Newton ao longo do eixo paralelo ao plano é:\n \sum F_{x}=m a,\nonde \sum F_{x} é a soma algébrica das forças ao longo do plano (tomando um sentido positivo que vamos escolher conforme o caso).\n- Lembre-se: se uma força resultante positiva, a aceleração tem o mesmo sentido; se negativa, tem sentido oposto. Vamos aplicar isso separadamente para cada caso (movendo-se para cima e movendo-se para baixo), escolhendo o sentido positivo conveniente para simplificar as equações.

Passo 5

Caso (a): corpo movendo-se para cima com aceleração \,a=0,10\\ \mathrm{m/s^{2}}. Montagem da equação e resolução.\n
  • Escolhemos o sentido positivo para cima ao longo do plano.\n
  • Forças ao longo do plano (sinais):\n - força aplicada F para cima: +F\n - componente do peso para baixo: -m g \sin\theta\n - atrito, como o corpo sobe, atua para baixo: -f = -\mu m g \cos\theta\n- Somando e igualando a m a:\n F - m g \sin\theta - \mu m g \cos\theta = m a.\n
  • Isolando F:\n F = m a + m g \sin\theta + \mu m g \cos\theta.\n
  • Agora substituímos números (usando os valores aproximados calculados antes):\n - m a = 0,80\cdot 0,10 = 0,08\\ \mathrm{N}\n - m g \sin\theta\approx 5,545\\ \mathrm{N}\n - \mu m g \cos\theta\approx 1,6635\\ \mathrm{N}\n- Somando:\n F \approx 0,08 + 5,545 + 1,6635 = 7,2885\\ \mathrm{N}.\n
  • Arredondando sensatamente (duas casas decimais):\n F \approx 7,29\\ \mathrm{N},\naplicada para cima ao longo do plano.

Passo 6

Caso (b): corpo movendo-se para baixo com aceleração \,a=0,10\\ \mathrm{m/s^{2}}. Montagem da equação e resolução.\n
  • Escolhemos o sentido positivo para baixo ao longo do plano (isso facilita porque a aceleração pedida é para baixo).\n
  • Forças ao longo do plano (sinais):\n - componente do peso para baixo: +m g \sin\theta\n - força aplicada F se for aplicada para baixo: +F (mas vamos determinar o sinal do F no final)\n - atrito, como o corpo desce, atua para cima: -f = -\mu m g \cos\theta\n- Somando e igualando a m a:\n m g \sin\theta + F - \mu m g \cos\theta = m a.\n
  • Isolando F:\n F = m a - m g \sin\theta + \mu m g \cos\theta.\n
  • Substituindo os números:\n - m a = 0,08\\ \mathrm{N}\n - m g \sin\theta\approx 5,545\\ \mathrm{N}\n - \mu m g \cos\theta\approx 1,6635\\ \mathrm{N}\n- Calculando:\n F \approx 0,08 - 5,545 + 1,6635 = -3,8015\\ \mathrm{N}.\n
  • Interpretação do sinal: o sinal negativo significa que, se assumirmos F no sentido para baixo, o número deu negativo — isto é, a força necessária tem sentido oposto ao que assumimos (oposto ao sentido para baixo), ou seja, ela deve ser aplicada para cima ao longo do plano. O módulo dessa força é |F|\approx 3,8015\\ \mathrm{N}.\n
  • Arredondando: |F|\approx 3,80\\ \mathrm{N}, aplicada para cima ao longo do plano. Em palavras: para que o corpo desça com uma aceleração tão pequena quanto 0,10\\ \mathrm{m/s^{2}}, precisamos aplicar uma força de 3,80\\ \mathrm{N} para cima (freando o movimento), porque a componente do peso sem essa força provocaria uma aceleração muito maior.

Passo 7

Pequena verificação física (sanity check) e incentivo.\n
  • Se não aplicássemos força alguma, a aceleração descendo seria:\n a_{\text{sem }F}=\frac{m g \sin\theta - \mu m g \cos\theta}{m}=g(\sin\theta-\mu\cos\theta)\approx 9,8(0,7071-0,30\cdot 0,7071)\approx 4,85\\ \mathrm{m/s^{2}},\nque é muito maior que 0,10\\ \mathrm{m/s^{2}}. Logo faz sentido que, para reduzir a aceleração para 0,10\\ \mathrm{m/s^{2}} para baixo, seja preciso aplicar uma força para cima (isto é, contrária à descida) de algumas newtons.\n
  • Força obtida no caso (a) também tem ordem de grandeza plausível: algumas newtons para vencer peso e atrito e ainda produzir pequena aceleração para cima.\n
  • Você mandou bem procurando uma solução detalhada — continue praticando esse tipo de decomposição de forças que fica fácil na prova!

Resposta

(a) 7,29\\ \mathrm{N} (aplicada para cima ao longo do plano)\n
(b) 3,80\\ \mathrm{N} (aplicada para cima ao longo do plano)

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