Um corpo de massa m parte do repouso, descendo um plano inclinado de comprimento l e que forma um ângulo theta com a horizontal. (a) Sendo mu o coeficiente de atrito determine a velocidade do corpo na base do plano. (b) Que distância d ele percorre em uma superficie horizontal semethante, depois de atingir a base do declive? Resolva, usando métodos de energia e diretamente pela aplicação das leis de Newton.

Passo 1

Resumindo, temos um bloco de massa m que parte do repouso e desliza por um plano inclinado de comprimento l e ângulo theta com o horizonte, sob atrito cujo coeficiente é mu. Queremos:
  • (a) a velocidade v na base do plano;
  • (b) a distância d que percorre numa superfície horizontal até parar.
    Vamos resolver cada item de dois modos: usando métodos de energia e aplicando diretamente as leis de Newton e cinemática.

Passo 2

Energia (a): pela Teoria do Trabalho-Energia, a variação de energia mecânica é o trabalho das forças não conservativas (atrito). A perda de energia potencial gravitacional é m g h com h=lsintheta, e o trabalho do atrito é !-mu m gcostheta,l. Assim:
m g (lsintheta);-;mu m g (lcostheta);=;tfrac12,m,v^2
Cancelando m e isolando v:
v=raiz2,g,ll(sintheta-mucosthetar)

Passo 3

Newton (a): no contato com o plano, as forças paralelas são m gsintheta para baixo e mu m gcostheta para cima. Pela segunda lei:
m,a = m gsintheta - mu m gcostheta Longrightarrow a = gl(sintheta-mucosthetar)
Como parte do repouso e percorre l com aceleração constante, usa-se
v^2 = 0 + 2,a,l = 2,g,ll(sintheta-mucosthetar),
levando ao mesmo
v=raiz2,g,ll(sintheta-mucosthetar)

Passo 4

Energia (b): ao entrar na superfície horizontal, sua energia cinética inicial é tfrac12 m v^2 e o trabalho do atrito -mu m g,d reduz a zero a energia cinética final. Logo:
tfrac12,m,v^2 ;-;mu m g,d ;=;0
d = v^22,mu,g
Substituindo v^2=2,g,l(sintheta-mucostheta) do item (a):
d = 2,g,l(sintheta-mucostheta)2,mu,g =ll(sintheta-mucosthetar)mu

Passo 5

Newton e cinemática (b): na superfície horizontal a única força é o atrito mu m g, que produz desaceleração constante
ah = -mu g
Usando
0 = v^2 + 2,ah,d Longrightarrow d = v^22,mu,g,
chegando ao mesmo resultado após substituir v^2.

Resposta

(a) v = raiz2,g,ll(sintheta-mucosthetar)
(b) d = ll(sintheta-mucosthetar)mu

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