EXEMPLO 29.7 Um próton em um capacitor
Um capacitor de placas paralelas é construído com dois discos de 2,0 cm de diâmetro espaçados por 2.0 mm de distância. Ele é carregado sob uma diferença de potencial de 500 V .
a. Qual é a intensidade do campo elétrico no interior do capacitor?
b. Que quantidade de carga existe sobre cada placa?
c. Um próton é arremessado através de um pequeno orifício existente na placa negativa com uma velocidade de 2,0 times 10^5 m / s. Ele alcançará a outra placa? Em caso negativo, onde será o ponto de retorno?

Passo 1

O enunciado dá um capacitor de placas paralelas, cada placa é um disco de diâmetro 2,0:cm separado da outra por 2,0:mm, ligado a uma diferença de potencial de 500:V.
Conteúdo: campo elétrico uniforme em capacitor, densidade superficial de carga e movimento de partícula carregada em campo uniforme.

Passo 2

Para achar o campo elétrico usamos que em capacitor de placas paralelas, desprezando bordas,
E = Vd
Aqui V=500:V e d=2,0:mm=2,0times10^-3:m, logo
E = 5002,0times10^-3 = 2,5times10^5:V/m

Passo 3

A densidade superficial de carga na placa é dada por
sigma = varepsilon0,E,
onde varepsilon0=8,85times10^-12:C/(Vcdotm). Assim
sigma = 8,85times10^-12times2,5times10^5 =2,21times10^-6:C/m^2
A área de cada disco de raio r=1,0:cm=1,0times10^-2:m é
A = pi r^2 = pi,(1,0times10^-2)^2 =3,14times10^-4:m^2
Logo a carga em cada placa vale
Q = sigma,A = 2,21times10^-6times3,14times10^-4 approx6,95times10^-10:C

Passo 4

Um próton com massa mp=1,67times10^-27:kg e carga q=+e=1,60times10^-19:C entra com velocidade inicial v0=2,0times10^5:m/s. Como o próton sai da placa negativa e segue em direção à positiva, ele perde energia cinética convertida em energia potencial elétrica até parar num ponto xmax.
A energia cinética inicial é
K = tfrac12,mp,v0^2
O trabalho retardador do campo em deslocamento xmax é
W = q,E,xmax
No ponto de retorno K - W = 0, então
tfrac12,mp,v0^2 = q,E,xmax Longrightarrow xmax = mp,v0^22,q,E
Substituindo valores,
xmax = 1,67times10^-27,(2,0times10^5)^2 2times1,60times10^-19times2,5times10^5 approx8,35times10^-4:m
Como xmax=0,83:mm é menor que a separação d=2,0:mm, o próton não alcança a placa positiva.

Resposta

a. E=2,5times10^5:V/m\nb. Qapprox6,95times10^-10:C (em cada placa).\nc. Não; o ponto de retorno fica a xmaxapprox8,35times10^-4:m da placa negativa.

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