Um corpo de massa , preso a uma mola de constante elástica , encontra-se em repouso na posição e imerso em um líquido viscoso cuja constante . No instante 0 é aplicada ao corpo a força
Assumindo que t0 gg alpha^-1, ou seja, que em t0, já tenha sido alcançada a solução estacionária.
Qual a energia mecânica inicial (t=0) e final (t infty) do sistema?
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede. A gente tem um bloco de massa k = m,alpha^2 ligado numa mola de constante
b = 2,m,alpha
e imerso num líquido com atrito viscoso de coeficiente
E(t)=12,m,dot x^2(t)+12,k,x^2(t)
(ou seja, crítico). O bloco fica parado em , e no instante começa a atuar uma força constante até um tempo , depois ela some. Como , o sistema atinge regime estacionário antes de a força desligar.
Conteúdo: oscilações amortecidas (crítico), energia mecânica (cinética + elástica). Vamos precisar da fórmula
e entender o deslocamento estacionário .
Passo 2
Energia mecânica inicial em E(0)=12,k,X0^2 =12,(m,alpha^2),X0^2 =12,m,alpha^2,X0^2 .
No instante zero o bloco está em e com velocidade . A energia é só potencial elástica:
Passo 3
Regime estacionário durante a aplicação da força ( xrm ss=Fk =-m,X0,alpha^2m,alpha^2 =-X0 ).
Como a força é constante, o deslocamento de equilíbrio é
Para , o sistema chega bem perto de e .
Passo 4
Depois que a força some ( x(t0)=-X0, dot x(t0)=0 ), o sistema livremente crítico parte de
x(t)=(C1+C2,(t-t0)),e^-alpha,(t-t0)
Solução da oscilação crítica livre:
C1=-X0, C2=-alpha,X0,
Aplicando as condições iniciais em x(t)=-X0l(1+alpha,(t-t0)r),e^-alpha,(t-t0) dá
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Quando , tanto quanto .
Passo 5
Energia mecânica final quando E(infty) =12,m,0^2+12,k,0^2 =0 .
Como e , temos