Uma partícula carregada entra uma região e sente uma força cuja ação pode ser descrita por
. Onde
e
são constantes positivas e
é a distância entre a partícula e a fonte geradora da força. Considerando que nenhuma outra força atua no sistema,
Considerando que a partícula está num ponto de equilíbrio estável, qual o menor valor do módulo da velocidade que ela deve ter para escapar desse potencial?
Considerando que a partícula está num ponto de equilíbrio estável, qual o menor valor do módulo da velocidade que ela deve ter para escapar desse potencial?
Passo 1
Beleza, o exercício diz que uma partícula sente uma força
,
onde ,
e
é a distância. Ele pergunta: se a partícula está num ponto de equilíbrio estável, qual a velocidade mínima (módulo) pra ela “escapar” do potencial?
Conteúdo: Mecânica (energia potencial e equilíbrio estável) + cinemática (energia mecânica). Vamos precisar:
onde
Conteúdo: Mecânica (energia potencial e equilíbrio estável) + cinemática (energia mecânica). Vamos precisar:
- Obter o potencial
integrando . - Encontrar os pontos de equilíbrio (onde
) e ver qual é estável. - Calcular a diferença de potencial (barreira) entre o mínimo e o infinito (ou o máximo intermediário).
- Usar energia mecânica para achar
.
Passo 2
Primeiro, achamos a energia potencial
. Lembrando que
Logo
Integramos termo a termo (usando
):
Como podemos definir
, basta escolher
.
Passo 3
A seguir, achamos os equilíbrios com
:
Isto dá
e
. Para saber qual é estável, observamos que no mínimo de
vale
. Ou, equivalentemente,
. Testando dá:
- Em
, → estável. - Em
, → instável.
Passo 4
Pra escapar, a partícula tem que ir do mínimo em
até “passar” o máximo em
. A barreira de potencial é
Calculemos rápido:
Então
Então
Passo 5
Agora vem a parte de energia: pra escapar, a energia cinética inicial
tem que ser pelo menos
.