Uma partícula carregada entra uma região e sente uma força cuja ação pode ser descrita por F(x)=F0((ax)^2-3(ax)^3+2(ax)^4). Onde F0 e a são constantes positivas e x é a distância entre a partícula e a fonte geradora da força. Considerando que nenhuma outra força atua no sistema,
Considerando que a partícula está num ponto de equilíbrio estável, qual o menor valor do módulo da velocidade que ela deve ter para escapar desse potencial?

Passo 1

Beleza, o exercício diz que uma partícula sente uma força
,
onde , e é a distância. Ele pergunta: se a partícula está num ponto de equilíbrio estável, qual a velocidade mínima (módulo) pra ela “escapar” do potencial?
Conteúdo: Mecânica (energia potencial e equilíbrio estável) + cinemática (energia mecânica). Vamos precisar:
  1. Obter o potencial integrando .
  2. Encontrar os pontos de equilíbrio (onde ) e ver qual é estável.
  3. Calcular a diferença de potencial (barreira) entre o mínimo e o infinito (ou o máximo intermediário).
  4. Usar energia mecânica para achar .

Passo 2

Primeiro, achamos a energia potencial F(x)=-dUdx Longrightarrow dU=-F(x),dx . Lembrando que
U(x)=integral -F(x),dx =-!F0!integrall[(a/x)^2-3(a/x)^3+2(a/x)^4r]dx
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U(x) =F0l[a^2x -3a^32x^2 +2a^43x^3r] + C
Integramos termo a termo (usando ):
Como podemos definir , basta escolher .

Passo 3

A seguir, achamos os equilíbrios com l(tfracaxr)^2l[1-3tfracax+2l(tfracaxr)^2r]=0 ;Longrightarrow; ax=1ouax=12 :
Isto dá e . Para saber qual é estável, observamos que no mínimo de vale . Ou, equivalentemente, . Testando dá:
  • Em , → estável.
  • Em , → instável.

Passo 4

Pra escapar, a partícula tem que ir do mínimo em De até “passar” o máximo em De. A barreira de potencial é
Calculemos rápido:


Então

Passo 5

Agora vem a parte de energia: pra escapar, a energia cinética inicial tfrac12,m,vmin^2 = 124F0a Longrightarrow vmin = raiz2m,124F0a =raizF0a12,m tem que ser pelo menos .

Resposta

.

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