Um corpo de massa m, preso a uma mola de constante elástica k=m alpha^2, encontra-se em repouso na posição X0 e imerso em um líquido viscoso cuja constante b=2 m alpha. No instante t= 0 é aplicada ao corpo a força
F(t)=cc 0, & t<0 -m X0 alpha^2, & 0 <= t <= t0 0, & t>t0
Assumindo que t0 gg alpha^-1, ou seja, que em t0, já tenha sido alcançada a solução estacionária.
Qual a energia total dissipada pelo meio viscoso?
DICA: para t>t0, lembre-se das novas condições iniciais e faça a substituição tau=t-t0

Passo 1

Beleza, vamos por partes. O exercício é de movimento harmônico amortecido (MHA) com amortecimento viscoso e forçante em regime estacionário. Tem massa F(t)= -m X0alpha^2 , mola com constante e amortecedor com coeficiente . A força externa é constante e vale
entre e , e o enunciado diz que , ou seja, deu tempo de chegar na solução estacionária. A pergunta é: qual a energia total que o meio viscoso (o amortecedor) dissipa durante todo o processo?
Conteúdo: dinâmica de um sistema massa-mola-amortecedor, regime estacionário, energia (trabalho da força, energia armazenada, energia dissipada). Vamos precisar de:
  • solução estacionária ,
  • princípio do trabalho e energia
  • evolução livre após com condições iniciais adaptadas.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a posição de equilíbrio quando a força externa é ligada e -k,xrm st + F = 0 Longrightarrow xrm st = Fk .
Teoria: em regime estacionário (velocidade e aceleração nulas), o somatório de forças é zero:
xrm st = -mX0alpha^2malpha^2 = -X0
Aqui e , então

Passo 3

Agora vamos pensar na evolução de de até .
  • Inicialmente e .
  • No regime estacionário, no fim temos e .
    Durante esse tempo, parte do trabalho feito pela força externa é armazenado na mola e parte é dissipada pelo amortecedor.

Passo 4

Calcular o trabalho da força externa nessa fase:
Teoria do trabalho: se a força é constante,
Wrm ext = F,(xrm final-xrm inicial)
Aqui
F=-mX0alpha^2, xrm inicial=X0, xrm final=-X0,
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Wrm ext = l(-mX0alpha^2r),l(-X0 - X0r) = -mX0alpha^2cdot(-2X0) = 2,malpha^2,X0^2

Passo 5

Energia armazenada na mola no início e no fim dessa fase:
Erm mola(0)=tfrac12 kX0^2, Erm mola(t0)=tfrac12 k(-X0)^2=tfrac12 kX0^2
Não houve mudança líquida na energia da mola, então tudo que não foi para a mola foi dissipado. Portanto a energia dissipada até Erm diss1 = Wrm ext ;-;De é

Passo 6

Para Erm mola = tfrac12,k,X0^2 = tfrac12,malpha^2,X0^2, desligamos a força e deixamos o sistema livre, a mola está esticada Erm diss2 = tfrac12,malpha^2,X0^2 e com velocidade zero. Esse “excesso” de energia potencial volta para zero e vai toda para o amortecedor. A energia inicial desta fase é
que será toda dissipada:

Passo 7

Somando as duas parcelas:
Erm total,dissipada = Erm diss1 + Erm diss2 = 2,malpha^2X0^2 ;+; tfrac12,malpha^2X0^2 = tfrac52,malpha^2,X0^2

Resposta

A energia total dissipada pelo meio viscoso é
boxedErm diss = 52,m,alpha^2,X0^2

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