Um corpo de massa , preso a uma mola de constante elástica , encontra-se em repouso na posição e imerso em um líquido viscoso cuja constante . No instante 0 é aplicada ao corpo a força
Assumindo que t0 gg alpha^-1, ou seja, que em t0, já tenha sido alcançada a solução estacionária.
Qual a energia total dissipada pelo meio viscoso?
DICA: para t>t0, lembre-se das novas condições iniciais e faça a substituição tau=t-t0
Passo 1
Beleza, vamos por partes. O exercício é de movimento harmônico amortecido (MHA) com amortecimento viscoso e forçante em regime estacionário. Tem massa F(t)= -m X0alpha^2 , mola com constante e amortecedor com coeficiente . A força externa é constante e vale
entre e , e o enunciado diz que , ou seja, deu tempo de chegar na solução estacionária. A pergunta é: qual a energia total que o meio viscoso (o amortecedor) dissipa durante todo o processo?
Conteúdo: dinâmica de um sistema massa-mola-amortecedor, regime estacionário, energia (trabalho da força, energia armazenada, energia dissipada). Vamos precisar de:
solução estacionária ,
princípio do trabalho e energia
evolução livre após com condições iniciais adaptadas.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a posição de equilíbrio quando a força externa é ligada e -k,xrm st + F = 0 Longrightarrow xrm st = Fk .
Teoria: em regime estacionário (velocidade e aceleração nulas), o somatório de forças é zero:
xrm st = -mX0alpha^2malpha^2 = -X0
Aqui e , então
Passo 3
Agora vamos pensar na evolução de de até .
Inicialmente e .
No regime estacionário, no fim temos e .
Durante esse tempo, parte do trabalho feito pela força externa é armazenado na mola e parte é dissipada pelo amortecedor.
Passo 4
Calcular o trabalho da força externa nessa fase:
Teoria do trabalho: se a força é constante,
Não houve mudança líquida na energia da mola, então tudo que não foi para a mola foi dissipado. Portanto a energia dissipada até Erm diss1 = Wrm ext ;-;De é
Passo 6
Para Erm mola = tfrac12,k,X0^2 = tfrac12,malpha^2,X0^2, desligamos a força e deixamos o sistema livre, a mola está esticada Erm diss2 = tfrac12,malpha^2,X0^2 e com velocidade zero. Esse “excesso” de energia potencial volta para zero e vai toda para o amortecedor. A energia inicial desta fase é