Uma partícula carregada entra uma região e sente uma força cuja ação pode ser descrita por
. Onde
e
são constantes positivas e
é a distância entre a partícula e a fonte geradora da força. Considerando que nenhuma outra força atua no sistema,
Calcule a frequência de oscilação em torno do ponto de equilíbrio estável
Calcule a frequência de oscilação em torno do ponto de equilíbrio estável
Passo 1
O enunciado diz que uma partícula de massa
sente uma força unidimensional
onde
e
são constantes positivas. Não há outras forças agindo, e a ideia é encontrar a frequência de pequenas oscilações em torno do ponto de equilíbrio estável.
Conteúdo: mecânica clássica, equilíbrio, pequenas oscilações (aproximação harmônica) e uso de derivadas para achar constante efetiva da mola.
Conteúdo: mecânica clássica, equilíbrio, pequenas oscilações (aproximação harmônica) e uso de derivadas para achar constante efetiva da mola.
Passo 2
Primeiro a gente localiza o ponto de equilíbrio
, onde
.
- Escreve
- Divide por
, define :
- As raízes são
ou seja
ou
, dando
ou
.
Passo 3
Agora a gente vê qual é estável. Para pequena perturbação
, faz-se a expansão
Na vizinhança do equilíbrio a equação de movimento é
Como num oscilador harmônico a força é
, identificamos
Ponto estável pede constante elástica
, logo
.
Passo 4
Vamos calcular
:
- Avaliando em
:
- Em
daria , instável. Então o estável é . - A constante efetiva fica
- A frequência angular da oscilação é
Resposta
A frequência angular de pequenas oscilações em torno do ponto de equilíbrio estável
é
e a frequência própria (ciclos por segundo) é