Uma partícula carregada entra uma região e sente uma força cuja ação pode ser descrita por F(x)=F0((ax)^2-3(ax)^3+2(ax)^4). Onde F0 e a são constantes positivas e x é a distância entre a partícula e a fonte geradora da força. Considerando que nenhuma outra força atua no sistema,
Calcule a frequência de oscilação em torno do ponto de equilíbrio estável

Passo 1

O enunciado diz que uma partícula de massa F(x)=F0l(l(tfracaxr)^2-3l(tfracaxr)^3+2l(tfracaxr)^4r),, sente uma força unidimensional
onde e são constantes positivas. Não há outras forças agindo, e a ideia é encontrar a frequência de pequenas oscilações em torno do ponto de equilíbrio estável.
Conteúdo: mecânica clássica, equilíbrio, pequenas oscilações (aproximação harmônica) e uso de derivadas para achar constante efetiva da mola.

Passo 2

Primeiro a gente localiza o ponto de equilíbrio l(tfracax0r)^2-3l(tfracax0r)^3+2l(tfracax0r)^4=0 , onde 1-3y+2y^2=0Longrightarrow 2y^2-3y+1=0 .
  1. Escreve
y=3pmraiz9-84=1,tfrac12,
  1. Divide por , define :
  1. As raízes são
ou seja ou , dando ou .

Passo 3

Agora a gente vê qual é estável. Para pequena perturbação F(x)approx F'(x0),(x-x0), , faz-se a expansão
mddot xi = F'(x0),xi
Na vizinhança do equilíbrio a equação de movimento é
k ;=;-F'(x0),
Como num oscilador harmônico a força é , identificamos
Ponto estável pede constante elástica , logo .

Passo 4

Vamos calcular F(x)=F0l(a^2x^-2-3a^3x^-3+2a^4x^-4r) ;Longrightarrow; F'(x)=F0l(-2a^2x^-3+9a^3x^-4-8a^4x^-5r) :
F'(a)=F0l(-2a^2a^3+9a^3a^4-8a^4a^5r) =F0l(-tfrac2a+tfrac9a-tfrac8ar) =-F0a<0
  1. Avaliando em k=-F'(a)=F0a :
omega=raizkm =raizF0/(a)m =raizF0m,a
  1. Em daria , instável. Então o estável é .
  2. A constante efetiva fica
  1. A frequência angular da oscilação é

Resposta

A frequência angular de pequenas oscilações em torno do ponto de equilíbrio estável boxedomega=raizF0m,a,, é
boxedf=omega2pi=12piraizF0m,a,
e a frequência própria (ciclos por segundo) é

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