Uma partícula de massa m, em movimento no plano x-y, penetra em um certo material, passando a sofrer a ação de uma força dada por F=F0 x-b(d yd t)^2 y. onde F0 e b>0 são constantes. Neste momento, em t=0, a partícula encontra-se na posição r(t=0)=(0,0), com velocidade inicial v(t=0)=v0 x x+v0 y y.
Encontrar a equação de trajetória da partícula para o caso em que v0 x=0. Faça um esboço de y(x) times x para esta situação.

Passo 1

Beleza, vamos entender primeiro o que o enunciado pede. A gente tem uma partícula de massa vec F = F0,hat x ;-; bl(dydtr)^2,hat y se movendo no plano . Dentro do material, ela sente uma força
com e constantes. No instante , ela está em e com velocidade . Pedem para achar a trajetória no caso em que .
Conteúdo:
  • Segunda lei de Newton ( ),
  • equações diferenciais simples (força constante em , força proporcional a em ),
  • integração para achar , e depois eliminar o tempo.

Passo 2

Resolver a componente md^2xdt^2=F0 .
Newton em vx(t)=dxdt = ax,t = F0m,t :
x(t)=integral0^t vx(t'),dt' = integral0^t F0mt',dt' = F02m,t^2
Isso é aceleração constante .
  1. Integramos para achar :
já que .
2) Integramos de novo para :

Passo 3

Agora a componente mdvydt = -,b,vy^2,onde vy=dydt . Newton em dvyvy^2 = -bm,dt :
integralv0y^vyduu^2 = -bmintegral0^t dt' ;Longrightarrow; l[-1ur]v0y^vy = -bm,t
Isso é uma equação diferencial separável. Reescrevemos:
-1vy + 1v0y = -bm,t Longrightarrow 1vy = 1v0y + bm,t
Integramos ambos os lados, de boxedvy(t)=11v0y+bm,t até , e de até :
Isso dá

Passo 4

Daqui pra frente, a gente quer dydt = 11v0y+bmt . Como y(t)=integral0^t dt'1v0y+bmt' = mb,ln!l(1+bmv0y,tr) ,
Integramos de a :

Passo 5

Falta eliminar t = raiz2m,xF0 usando boxedy(x)=mb,ln!gl(1+b,v0ym,raiz2m,xF0gr) . Daí
Plugando em :

Resposta

A trajetória é
y(x)=mb,ln!gl(1+b,v0ymraiz2mF0,xgr)
Esboço qualitativo vs.\ : começa em , cresce rapidamente a princípio e depois vai “achatando” (curva crescente mas com inclinação decrescente), pois o logaritmo dá esse formato de subida cada vez mais lenta.

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