Uma partícula de massa
, em movimento no plano
, penetra em um certo material, passando a sofrer a ação de uma força dada por
. onde
e
são constantes. Neste momento, em
, a partícula encontra-se na posição
, com velocidade inicial
.
Encontrar a equação de trajetória da partícula para o caso em que
. Faça um esboço de
para esta situação.
Encontrar a equação de trajetória da partícula para o caso em que
Passo 1
Beleza, vamos entender primeiro o que o enunciado pede. A gente tem uma partícula de massa
se movendo no plano
. Dentro do material, ela sente uma força
com
e
constantes. No instante
, ela está em
e com velocidade
. Pedem para achar a trajetória
no caso em que
.
Conteúdo:
- Segunda lei de Newton (
), - equações diferenciais simples (força constante em
, força proporcional a em ), - integração para achar
, e depois eliminar o tempo.
Passo 2
Resolver a componente
.
Newton em :
Newton em
Isso é aceleração constante
.
- Integramos para achar
:
já que
.
2) Integramos de novo para :
2) Integramos de novo para
Passo 3
Agora a componente
. Newton em
:
Isso é uma equação diferencial separável. Reescrevemos:
Integramos ambos os lados, de
até
, e de
até
:
Isso dá
Passo 4
Daqui pra frente, a gente quer
. Como
,
Integramos de
a
:
Passo 5
Falta eliminar
usando
. Daí
Plugando em
:
Resposta
A trajetória é
Esboço qualitativo
vs.\
: começa em
, cresce rapidamente a princípio e depois vai “achatando” (curva crescente mas com inclinação decrescente), pois o logaritmo dá esse formato de subida cada vez mais lenta.