Um corpo de 0,4 \mathrm{~kg} está executa um movimento harmônico simples de amplitude de 8,5 \mathrm{~cm} e período de 0,20 \mathrm{~s}.
a) Qual o módulo da força máxima que age sobre o corpo?
b) Se as oscilações são produzidas por uma mola, qual é a constante de mola?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • massa: m = 0,4\\ \mathrm{kg}.
  • amplitude: A = 8,5\\ \mathrm{cm}.
  • período: T = 0,20\\ \mathrm{s}.
O enunciado pede:
(a) o módulo da força máxima que age sobre o corpo;
(b) se as oscilações são produzidas por uma mola, qual é a constante da mola k.

Passo 2

Conceitos e fórmulas essenciais (passo-a-passo didático):
  • Em movimento harmônico simples (MHS) a posição em função do tempo é algo como x(t)=A\cos(\omega t+\varphi). A aceleração instantânea vale \,a(t)=-\omega^{2}x(t)\,.
    • Aqui \omega é a frequência angular (em rad/s), x(t) é a posição instantânea (em m), A é a amplitude (em m) e \varphi a fase inicial.
  • Pela segunda lei de Newton a força resultante sobre a massa é F(t)=m a(t)=-m\omega^{2}x(t).
    • O módulo da força é |F(t)|=m\omega^{2}|x(t)|.
  • A força máxima em módulo ocorre quando |x(t)| é máxima, isto é |x|=A. Logo:
F_{\max}=m\omega^{2}A.
  • A relação entre período T e frequência angular \omega é
\omega=\frac{2\pi}{T}.
  • Se a origem do movimento é uma mola ideal (lei de Hooke), a constante elástica k está relacionada a \omega por
\omega^{2}=\frac{k}{m}\quad\Rightarrow\quad k=m\omega^{2}.
Antes de calcular, converto a amplitude para metros:
A=8,5\\ \mathrm{cm}=0,085\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Calcular a frequência angular \omega a partir do período:
\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{0,20}=10\pi\\ \mathrm{rad/s}.
Se for útil em número decimal, use \pi\approx 3,1416, então
\omega \approx 10\pi \approx 31,416\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Calcular a força máxima usando F_{\max}=m\omega^{2}A.
Mostro primeiro uma forma simbólica simplificada:
F_{\max}=m(10\pi)^{2}A=100\pi^{2}mA.
Agora substituo os valores numéricos passo a passo:
  • \pi^{2}\approx 9,8696, então 100\pi^{2}\approx 986,96.
  • Multiplicando por mA: mA = 0,4\times0,085=0,034.
  • Logo
F_{\max}\approx 986,96\times0,034\approx 33,56\\ \mathrm{N}.
(Explicação breve: foi calculado primeiro \omega^{2}=(10\pi)^{2}, depois multiplicado por m e por A.)

Passo 5

Calcular a constante da mola k. Podemos usar k=m\omega^{2}.
Usando \omega^{2}=(10\pi)^{2}=100\pi^{2}:
k=m\omega^{2}=0,4\times100\pi^{2}=40\pi^{2}.
Numericamente:
k\approx 40\times9,8696\approx 394,8\\ \mathrm{N/m}.
Observação: como checagem alternativa, k também pode ser obtido por k=F_{\max}/A. Se fizer essa divisão com os valores obtidos dá o mesmo resultado dentro do arredondamento.

Resposta

(a) F_{\max}=33,56\\ \mathrm{N}
(b) k=394,8\\ \mathrm{N/m}

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