Questão 6) 0,02 mols de gás hélio (gás monoatômico), inicialmente nas CNTP (condiçōes normais de temperatura e pressão: 1 \mathrm{~atm}, 0^{\circ} \mathrm{C} ) passam por um processo isovolumétrico em que a pressão cai para um terço de seu valor inicial. (a) Qual é o trabalho realizado pelo gás? (b) Qual o calor absorvido ou liberado pelo gás?
Após o sofrer o processo isovolumétrico descrito anteriormente o gás agora é expandido isobaricamente, para um volume três vezes maior que seu valor inicial. (c) qual o trabalho realizado pelo gás? (d) Qual é o calor absorvido pelo gás?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta as coisas abaixo:
  • Quantidade de gás: n=0{,}02 mol.
  • Gás: hélio, monoatômico.
  • Condições iniciais (CNTP): pressão P_1=1\\ \text{atm} e temperatura T_1=0^\circ\mathrm{C}=273{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Processo 1: isovolumétrico (volume constante) em que a pressão cai para um terço do valor inicial, ou seja P_2=\dfrac{P_1}{3} e V_2=V_1.
  • Processo 2: depois do isovolumétrico o gás passa por uma expansão isobárica (pressão constante) até um volume que é três vezes o volume inicial, ou seja V_3=3V_1 e a pressão durante essa etapa é P_2 (a pressão final do passo 1).
    As perguntas:
    (a) Qual o trabalho realizado pelo gás no processo isovolumétrico?
    (b) Qual o calor absorvido ou liberado pelo gás no processo isovolumétrico?
    (c) Qual o trabalho realizado pelo gás na expansão isobárica?
    (d) Qual o calor absorvido pelo gás na expansão isobárica?

Passo 2

Primeiro, calcular um dado útil: o volume inicial V_1 nas CNTP. Vou usar o volume molar nas CNTP: o volume de 1 mol a 0^\circ\mathrm{C} e 1\\ \text{atm} é V_{\mathrm{mol}}=22{,}414\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3/mol}. Assim:
V_1 = n V_{\mathrm{mol}} = 0{,}02\cdot 22{,}414\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3} = 4{,}4828\times10^{-4}\\ \mathrm{m^3}.
Também é útil o produto P_1V_1, que pela equação dos gases ideais vale P_1V_1=nRT_1. Numericamente:
P_1V_1 = n R T_1 = 0{,}02\cdot 8{,}314\\ \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{mol\,K}}\cdot 273{,}15\\ \mathrm{K}\approx 45{,}4\\ \mathrm{J}.
Observação sobre sinais: ao longo da resolução uso a convenção usual da termodinâmica que toma Q>0 quando calor é absorvido pelo gás e W>0 quando o gás realiza trabalho sobre o meio (expansão).

Passo 3

Resolver (a) — trabalho em processo isovolumétrico.
Conceito e fórmula: o trabalho realizado por um gás num processo quasistático é W=\displaystyle\int_{V_i}^{V_f} P\,dV. Se o volume não muda ( V_f=V_i), então o integral é nulo e
W_{\text{isovol}}=0.
Explicando em palavras: num processo onde a parede não se desloca (volume constante) não há deslocamento do limite do gás, logo não há trabalho mecânico P\,\Delta V.

Passo 4

Resolver (b) — calor trocado no isovolumétrico.
Conceito e fórmulas úteis:
  • Primeira lei da termodinâmica: \Delta U = Q - W, onde \Delta U é a variação da energia interna, Q o calor recebido pelo gás e W o trabalho realizado pelo gás.
  • Para um gás ideal monoatômico a energia interna depende só da temperatura e vale U=\dfrac{3}{2}nRT. Assim a variação é \Delta U = n C_V \Delta T com C_V=\dfrac{3}{2}R.
    No isovolumétrico já vimos W=0, então Q=\Delta U.
Calcular \Delta T: como V constante e P_2=P_1/3, pela equação dos gases ideais T segue a mesma razão da pressão: T_2=\dfrac{P_2V}{nR}=\dfrac{P_1V}{3nR}=\dfrac{T_1}{3}. Logo
\Delta T = T_2-T_1 = -\frac{2}{3}T_1.
Calcular \Delta U:
\Delta U = n C_V \Delta T = n\cdot\frac{3}{2}R\cdot\left(-\frac{2}{3}T_1\right) = -n R T_1 = -P_1 V_1.
Usando o valor numérico de P_1V_1 estimado acima:
\Delta U \approx -45{,}4\\ \mathrm{J}.
Portanto
Q_{\text{isovol}}=\Delta U\approx -45{,}4\\ \mathrm{J}.
Interpretação do sinal: Q<0 significa que o gás liberou calor para o ambiente, aproximadamente 45{,}4\\ \mathrm{J} foram liberados.

Passo 5

Passar ao processo 2: expansão isobárica de V_2=V_1 até V_3=3V_1 à pressão constante P_2=P_1/3. Vou calcular (c) e (d).
(c) Trabalho na isobárica.
Fórmula para trabalho a pressão constante:
W_{\text{isob}} = P\,\Delta V = P_2 (V_3 - V_2).
Substituindo V_3=3V_1 e V_2=V_1:
W_{\text{isob}} = P_2(3V_1-V_1)=2P_2V_1.
Como P_2=\dfrac{P_1}{3}, temos
W_{\text{isob}} = 2\cdot\frac{P_1}{3}V_1 = \frac{2}{3}P_1V_1.
Usando P_1V_1\approx 45{,}4\\ \mathrm{J}:
W_{\text{isob}}\approx \frac{2}{3}\cdot 45{,}4\\ \mathrm{J}\approx 30{,}3\\ \mathrm{J}.
Sinal positivo: o gás realiza trabalho (expansão).

Passo 6

(d) Calor na isobárica.
Duas maneiras equivalentes: usar Q=n C_P \Delta T com C_P=C_V+R=\dfrac{5}{2}R, ou usar primeira lei Q=\Delta U+W. Primeiro calcule \Delta T.
Temperaturas: no início do passo 2 a temperatura é T_2=T_1/3. Após expansão isobárica, usando P_2V_3=nRT_3 e V_3=3V_1,
T_3=\frac{P_2V_3}{nR}=3\frac{P_2V_1}{nR}=3T_2.
Mas T_2=T_1/3, então T_3=T_1. Assim o gás volta à temperatura inicial T_1. Portanto
\Delta T = T_3-T_2 = T_1-\frac{T_1}{3}=\frac{2}{3}T_1.
Agora Q=nC_P\Delta T com C_P=\dfrac{5}{2}R:
Q_{\text{isob}} = n\cdot\frac{5}{2}R\cdot\frac{2}{3}T_1 = n\cdot\frac{5}{3}R T_1 = \frac{5}{3}P_1V_1.
Numericamente:
Q_{\text{isob}}\approx \frac{5}{3}\cdot 45{,}4\\ \mathrm{J}\approx 75{,}7\\ \mathrm{J}.
Verificação rápida com a primeira lei: \Delta U = nC_V\Delta T = n\cdot\frac{3}{2}R\cdot\frac{2}{3}T_1 = nR T_1 = P_1V_1\approx 45{,}4\\ \mathrm{J}. Então Q=\Delta U+W\approx 45{,}4+30{,}3=75{,}7\\ \mathrm{J}, consistente.
Sinal positivo: Q>0 significa que o gás absorveu calor (aprox. 75{,}7\\ \mathrm{J}) nesta etapa.

Resposta

(a) 0\\ \mathrm{J}
(b) -45{,}4\\ \mathrm{J} (o gás liberou 45{,}4\\ \mathrm{J})
(c) 30{,}3\\ \mathrm{J}
(d) 75{,}7\\ \mathrm{J}

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