Um par de fendas estreitas e paralelas por 0,250 \mathrm{~mm} é iluminado por luz verde ( \lambda=546,1 \mathrm{~nm} ). O padrão de interferência é observado em uma tela a 1,20 \mathrm{~m} de distância do plano das fendas paralelas. Calcule a distância
entre a primeira e a segunda faixas escuras no padrão de interferência.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (coloquei também em unidades do Sistema Internacional):
  • Separação entre as fendas: d=0,250\\ \mathrm{mm}=2,50\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento de onda da luz: \lambda=546{,}1\\ \mathrm{nm}=5{,}461\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
  • Distância da tela ao plano das fendas: L=1{,}20\\ \mathrm{m}.
O que se pede: calcular a distância entre a primeira e a segunda faixas escuras (minimas adjacentes) no padrão de interferência observado na tela.

Passo 2

Relembrando a condição de mínimas para o conjunto de duas fendas: o caminho extra entre as fendas deve satisfazer
d\sin\theta = \Bigl(m+\tfrac{1}{2}\Bigr)\lambda,
onde m é um número inteiro ( m=0 dá a primeira faixa escura, m=1 a segunda, etc.). Aqui \theta é o ângulo medido a partir da normal ao plano das fendas até a direção do máximo/minimo na tela.
Para pequenos ângulos (caso usual quando L\gg d), a posição vertical y da franja na tela a distância L é aproximada por
y \approx L\tan\theta \approx L\sin\theta,
porque \tan\theta\approx\sin\theta\approx\theta quando \theta é pequeno. Vou usar essa aproximação e, depois, verificar que é válida para nossos números.

Passo 3

Usando a condição das mínimas e a aproximação pequena-ângulo obtemos a posição aproximada da m-ésima franja escura:
y_m \approx L\sin\theta = L\frac{(m+\tfrac{1}{2})\lambda}{d}.
Queremos a distância entre a primeira e a segunda faixas escuras, isto é \Delta y = y_{1}-y_{0}. Subtraindo:
\Delta y = L\frac{(1+\tfrac{1}{2})\lambda}{d} - L\frac{(\tfrac{1}{2})\lambda}{d} = L\frac{\lambda}{d}.
Ou seja, a distância entre duas mínimas adjacentes é simplesmente \dfrac{\lambda L}{d} — mesma separação entre máximos adjacentes.

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos:
\Delta y = \frac{\lambda L}{d} = \frac{\left(5{,}461\times10^{-7}\\ \mathrm{m}\right)\left(1{,}20\\ \mathrm{m}\right)}{2{,}50\times10^{-4}\\ \mathrm{m}}.
Calcule passo a passo:
\lambda L = 5{,}461\times10^{-7}\times1{,}20 = 6{,}5532\times10^{-7}\\ \mathrm{m},
\Delta y = \frac{6{,}5532\times10^{-7}}{2{,}50\times10^{-4}} = 2{,}62128\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Convertendo para milímetros:
\Delta y = 2{,}62128\times10^{-3}\\ \mathrm{m}=2{,}62\\ \mathrm{mm}\\ (\text{aprox.}).

Passo 5

Verificação da aproximação de pequeno ângulo: para m=1 a condição dá
\sin\theta_{1}=\frac{(1+\tfrac{1}{2})\lambda}{d}=\frac{1{,}5\times5{,}461\times10^{-7}}{2{,}50\times10^{-4}} =3{,}2766\times10^{-3},
ou seja \theta_{1}\approx0{,}00328\\ \mathrm{rad}\approx0{,}188^\circ, um ângulo muito pequeno. Logo a aproximação y\approx L\sin\theta (e mesmo y\approx L\tan\theta) é perfeitamente válida aqui.

Resposta

2{,}62\\ \mathrm{mm}

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