Um corpo de 0,8 \mathrm{~kg} é preso uma mola com rigidez \mathrm{k}=400 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. Calcule a freqüência e o período do movimento do corpo quando ele é deslocado da posição de equilíbrio.
Escolha uma opção:
◯ a. \quad f=3,56 H z, T=0,281 s
◯ b. f=0,06 \mathrm{~Hz}, T=16 s
◯ c. f=78,36 \mathrm{~Hz}^{\prime}, T=0,012 s
◯ d. f=22,36 \mathrm{~Hz}, T=0,04 s
◯ e. O valor varia de acordo com o deslocamento

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (peguei tudo do enunciado):
  • Massa do corpo: m=0,8\\ \mathrm{kg}.
  • Constante elástica da mola: k=400\\ \mathrm{N/m}.
    O que o problema pede:
  • Calcular a frequência f do movimento.
  • Calcular o período T do movimento.
    Também há uma lista de alternativas; preciso encontrar qual delas corresponde aos valores calculados.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando cada coisa):
  • Quando um corpo preso a uma mola sofre pequenas oscilações sem atrito, o movimento é harmônico simples e satisfaz a equação de Newton com a força de Hooke: a força restauradora é -kx e portanto a equação é
m\ddot{x} + kx = 0.
Aqui x(t) é o deslocamento em função do tempo, m é a massa e k é a rigidez da mola.
  • A solução dessa equação é uma oscilação cujo pulsação (frequência angular) é
\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}.
Explicando: \omega tem dimensão de rad/s e é a velocidade angular da oscilação; ela surge ao resolver a equação diferencial homogênea acima.
  • A frequência em hertz (número de oscilações por segundo) relaciona-se com \omega por
f = \frac{\omega}{2\pi}.
Aqui f é em \mathrm{Hz} (s ^{-1}).
  • O período T (tempo de uma oscilação completa) é o inverso da frequência:
T = \frac{1}{f} = \frac{2\pi}{\omega}.
Resumo: calcular \omega a partir de k e m, depois obter f e T.

Passo 3

Calcular a pulsação \omega:
\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{400}{0,8}}.
Calculemos \dfrac{400}{0,8}:
\frac{400}{0,8}=500.
Então
\omega=\sqrt{500}=\sqrt{5\cdot100}=10\sqrt{5}.
Uma aproximação numérica de \sqrt{5} é aproximadamente 2,236067977, então
\omega \approx 10\cdot 2,236067977 \approx 22,36067977\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Calcular a frequência f:
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{22,36067977}{2\pi}.
Calcule 2\pi:
2\pi \approx 6,283185307.
Dividindo:
f\approx\frac{22,36067977}{6,283185307}\approx 3,558\\ \mathrm{Hz}.
Arredondando com duas casas decimais (como nas alternativas):
f\approx 3,56\\ \mathrm{Hz}.

Passo 5

Calcular o período T:
T=\frac{1}{f}\approx\frac{1}{3,558}\approx 0,281\\ \mathrm{s}.
Arredondando:
T\approx 0,281\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Comparando com as alternativas fornecidas, os valores calculados f\approx 3,56\\ \mathrm{Hz} e T\approx 0,281\\ \mathrm{s} correspondem à alternativa (a). Observação física rápida e útil para prova: a frequência de um oscilador massa-mola não depende do deslocamento (amplitude), portanto a alternativa (e) está incorreta.

Resposta

a. f=3{,}56\\ \mathrm{Hz},\\ T=0{,}281\\ \mathrm{s}

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