Considere a superposição de duas ondas:
\begin{aligned} & y_{1}=y_{m} \cdot \operatorname{sen}(\kappa \cdot x-\omega \cdot t) \\\ & y_{2}=y_{m} \cdot \operatorname{sen}(\kappa \cdot x-\omega \cdot t+\varphi) \\\ & \operatorname{sendo} y_{m}=(0,20 m), k=\left(10 \cdot m^{-1}\right), \omega=50 \mathrm{rad} / \mathrm{s}, \varphi=\pi / 4 \end{aligned}
calcule POSIÇÃO da onda resultante para \mathbf{x}=0,1 \mathrm{~m} e \mathbf{t}=0,02 \mathrm{~s}(\mathrm{em} \mathrm{m}).

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos:
  • Pede: calcular a POSIÇÃO (ou deslocamento vertical) da onda resultante y no ponto \,x=0,1\\ \mathrm{m}\, e no instante \,t=0,02\\ \mathrm{s}\,.
  • Dados (peguei estes valores do enunciado):
    • y_{1}=y_{m}\,\operatorname{sen}(\kappa x-\omega t)
    • y_{2}=y_{m}\,\operatorname{sen}(\kappa x-\omega t+\varphi)
    • y_{m}=(0,20\\ \mathrm{m})
    • \kappa=\left(10\\ \mathrm{m}^{-1}\right)
    • \omega=50\\ \mathrm{rad/s}
    • \varphi=\pi/4
    • x=0,1\\ \mathrm{m}
    • t=0,02\\ \mathrm{s}

Passo 2

Princípio e identidade trigonométrica que vamos usar (a explicação didática):
  • A superposição linear diz que a onda resultante é a soma ponto a ponto: y(x,t)=y_{1}(x,t)+y_{2}(x,t).
  • Para somar duas senóides com mesma frequência e amplitude, usamos a identidade trigonométrica \sin A+\sin B = 2\sin\!\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\!\left(\frac{A-B}{2}\right).Explicando essa identidade de forma simples: ela transforma a soma de duas senos em um produto de uma seno (com fase média) e um cosseno (com metade da diferença de fase). Isso é útil porque mostra que a soma é outra onda senoidal com amplitude modificada por \cos da metade da diferença de fase.

Passo 3

Aplicar a identidade ao nosso caso (montando A e B):
  • Defina A=\kappa x-\omega t, \qquad B=\kappa x-\omega t+\varphi.
  • Então y(x,t)=y_{m}\big[\sin A+\sin B\big] =y_{m}\cdot 2\sin\!\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\!\left(\frac{A-B}{2}\right).
  • Calcule \dfrac{A+B}{2} e \dfrac{A-B}{2}: \frac{A+B}{2}=\frac{(\kappa x-\omega t)+(\kappa x-\omega t+\varphi)}{2}=\kappa x-\omega t+\frac{\varphi}{2},
\frac{A-B}{2}=-\frac{\varphi}{2}.
Como \cos(-\theta)=\cos\theta, isso dá
y(x,t)=2y_{m}\cos\!\left(\frac{\varphi}{2}\right)\sin\!\left(\kappa x-\omega t+\frac{\varphi}{2}\right).
  • Interpretação: a forma mostra que a soma é uma senóide com amplitude efetiva 2y_{m}\cos(\varphi/2) e com fase deslocada em \varphi/2.

Passo 4

Calcular a fase \kappa x-\omega t no ponto e instante dados (conta passo a passo, sem pular etapas):
  • Calcule \kappa x: \kappa x = \left(10\\ \mathrm{m}^{-1}\right)\cdot\left(0,1\\ \mathrm{m}\right)=1.
  • Calcule \omega t: \omega t = \left(50\\ \mathrm{rad/s}\right)\cdot\left(0,02\\ \mathrm{s}\right)=1.
  • Portanto a fase \kappa x-\omega t = 1-1 = 0.(Resultado simples e elegante: as duas contribuições se cancelaram.)

Passo 5

Avaliar a expressão da onda resultante usando \kappa x-\omega t=0 e \varphi=\pi/4:
  • A expressão geral era y(x,t)=2y_{m}\cos\!\left(\frac{\varphi}{2}\right)\sin\!\left(\kappa x-\omega t+\frac{\varphi}{2}\right).Substituindo \kappa x-\omega t=0: y=2y_{m}\cos\!\left(\frac{\varphi}{2}\right)\sin\!\left(\frac{\varphi}{2}\right).
  • Usando a identidade 2\cos\alpha\sin\alpha=\sin(2\alpha), com \alpha=\varphi/2, obtemos y=y_{m}\sin\varphi.(Isso é coerente com somar diretamente: quando a primeira seno tem argumento 0, a soma é y_{m}\sin\varphi.)
  • Agora substituímos os números: y_{m}=0,20,\qquad \varphi=\frac{\pi}{4},
y=0,20\cdot\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right).
  • Sabendo \sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}, obtemos a forma exata y=0,20\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=0,10\sqrt{2}\\ \mathrm{m}.
  • Valor numérico (aproximação): 0,10\sqrt{2}\approx 0,1414\\ \mathrm{m}.

Resposta

y(0,1\\ \mathrm{m},\,0,02\\ \mathrm{s})=0,10\sqrt{2}\\ \mathrm{m}\approx 0,1414\\ \mathrm{m}

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