Um bloco de massa \mathrm{m}=4,0 \mathrm{~kg} é dependurado na extremidade livre de uma mola vertical e estica essa mola de 16 cm . Qual é a constante da mola e qual a freqüência de vibração do sistema? Considere \mathrm{g}=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.
Escolha uma opção:
◯ a. k=64 \mathrm{~N} / \mathrm{m} \boldsymbol{\omega}=4,01 \mathrm{rad} / \mathrm{s}
◯ b. k=245 \mathrm{~N} / \mathrm{m} \boldsymbol{\omega}=7,83 \mathrm{rad} / \mathrm{s}
◯ c. k=300 \mathrm{~N} / \mathrm{m} \boldsymbol{\omega}=8,73 \mathrm{rad} / \mathrm{s}
◯ d. k=150 \mathrm{~N} / \mathrm{m} \boldsymbol{\omega}=6,12 \mathrm{rad} / \mathrm{s}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • massa: m=4,0\\ \mathrm{kg}.
    • alongamento da mola por ação do peso: x=16\\ \mathrm{cm}.
    • aceleração da gravidade: g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • O enunciado pede:
    1. A constante da mola k.
    2. A frequência de vibração do sistema (aqui as opções mostram a frequência angular \omega em \mathrm{rad/s}).

Passo 2

Entender a física básica envolvida para encontrar k.
  • Quando a massa fica em repouso na posição de equilíbrio, a força elástica da mola para cima equilibra o peso para baixo. Pela lei de Hooke e pela condição de equilíbrio:
kx = mg.
Aqui:
  • k é a constante da mola (unidade \mathrm{N/m}),
  • x é a extensão em metros,
  • m é a massa em \mathrm{kg},
  • g é a gravidade em \mathrm{m/s^{2}}.
Essa fórmula vem do fato de que na posição de equilíbrio a soma das forças é zero: força elástica -kx + peso mg = 0.

Passo 3

Converter unidades para o SI (importante para calcular corretamente).
  • A extensão dada é x=16\\ \mathrm{cm}. Converter para metros:
x = 16\\ \mathrm{cm} = 0,16\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular o peso mg (passo intermediário útil para achar k).
  • Multiplicando m por g:
mg = 4,0 \times 9,8 = 39,2\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Determinar a constante da mola k usando k = \dfrac{mg}{x}.
  • Substituindo os valores:
k = \frac{mg}{x} = \frac{39,2}{0,16}.
  • Para fazer esta divisão sem calculadora, multiplica-se numerador e denominador por 100: \dfrac{39,2}{0,16} = \dfrac{3920}{16}=245.
k = 245\\ \mathrm{N/m}.

Passo 6

Agora achar a frequência angular \omega do sistema massa-mola.
  • Para pequenas oscilações ao redor da posição de equilíbrio, o movimento é harmonicamente simples, descrito por
m\ddot{y} + ky = 0,
onde y é o deslocamento a partir da posição de equilíbrio. A solução é senoidal com frequência angular
\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}.
Aqui \omega tem unidades de \mathrm{rad/s}.

Passo 7

Calcular numericamente \omega com os valores encontrados.
  • Substituindo k=245\\ \mathrm{N/m} e m=4,0\\ \mathrm{kg}:
\omega = \sqrt{\frac{245}{4,0}} = \sqrt{61,25}.
  • Aproximando a raiz quadrada:
\omega \approx 7,83\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 8

Conferência com as opções: o valor k=245\\ \mathrm{N/m} e \omega\approx7,83\\ \mathrm{rad/s} corresponde à alternativa (b).

Resposta

k=245\\ \mathrm{N/m}
\omega=7,83\\ \mathrm{rad/s}

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