Um corpo está se movendo em linha reta com posição s(t)=\sqrt{\left(3+t-t^{2}\right)^{3}}, 0 \leq t \leq 2.
a) Determine a velocidade v(t) e aceleração a(t).
b) Em que instante o corpo está parado? Determine a posição e a aceleração nesse instante.
Passo 1
O enunciado fornece a posição do corpo e o intervalo de tempo:
A posição é s(t)=\sqrt{\left(3+t-t^{2}\right)^{3}} para 0\le t\le 2.
As perguntas são:
(a) Determinar a velocidade v(t) e a aceleração a(t).
(b) Em que instante o corpo está parado? Determinar a posição e a aceleração nesse instante.
Passo 2
Primeiro simplificamos a expressão algébrica de s(t) para tornar as derivadas mais claras. A raiz quadrada de uma potência pode ser escrita como potência com expoente \tfrac{1}{2}. Assim:
Explico de forma bem prática o que foi feito: diferenciar uma potência composta foi feito em dois passos — (i) derivar a potência exterior x^{3/2} dando \tfrac{3}{2}x^{1/2} e (ii) multiplicar pela derivada da parte interior 1-2t. Isso é exatamente a regra da cadeia. A expressão acima é a velocidade final.
Passo 5
Agora calculamos a aceleração a(t)=v'(t). Podemos derivar a forma encontrada para v(t). Para isso usamos a regra do produto (pois v(t) é produto de \frac{3}{2}(1-2t) por (3+t-t^{2})^{1/2}) e novamente a regra da cadeia para derivar a raiz. A regra do produto diz que se f(t)=p(t)q(t) então f'(t)=p'(t)q(t)+p(t)q'(t).
Seja p(t)=1-2t e q(t)=\bigl(u(t)\bigr)^{1/2} com u(t)=3+t-t^{2}. Então p'(t)=-2. Para q'(t) aplicamos a cadeia:
há dois fatores que podem anular o produto. Primeiro \bigl(3+t-t^{2}\bigr)^{1/2}=0 quando 3+t-t^{2}=0. Essa equação quadrática tem raízes
t=\frac{1\pm\sqrt{13}}{2}.
Essas raízes são aproximadamente \dfrac{1-\sqrt{13}}{2} e \dfrac{1+\sqrt{13}}{2}. Ambas estão fora do intervalo [0,2] (uma é negativa e a outra maior que 2), portanto não interessam para nosso domínio. O outro fator é 1-2t=0, que dá
t=\frac{1}{2}.
Esse valor está dentro do intervalo 0\le t\le 2, logo o corpo fica parado em t=\tfrac{1}{2}.
Passo 9
Agora determinamos a posição s e a aceleração a nesse instante t=\tfrac{1}{2}.