Um corpo está se movendo em linha reta com posição s(t)=\sqrt{\left(3+t-t^{2}\right)^{3}}, 0 \leq t \leq 2.
a) Determine a velocidade v(t) e aceleração a(t).
b) Em que instante o corpo está parado? Determine a posição e a aceleração nesse instante.

Passo 1

O enunciado fornece a posição do corpo e o intervalo de tempo:
  • A posição é s(t)=\sqrt{\left(3+t-t^{2}\right)^{3}} para 0\le t\le 2.
    As perguntas são:
  • (a) Determinar a velocidade v(t) e a aceleração a(t).
  • (b) Em que instante o corpo está parado? Determinar a posição e a aceleração nesse instante.

Passo 2

Primeiro simplificamos a expressão algébrica de s(t) para tornar as derivadas mais claras. A raiz quadrada de uma potência pode ser escrita como potência com expoente \tfrac{1}{2}. Assim:
s(t)=\sqrt{\left(3+t-t^{2}\right)^{3}}=\left(3+t-t^{2}\right)^{3/2}.
Aqui é conveniente definir a função interna
u(t)=3+t-t^{2}.
Então
s(t)=\bigl(u(t)\bigr)^{3/2}.

Passo 3

Agora vamos calcular a velocidade v(t)=s'(t). Usamos a regra da cadeia: se s(t)=\bigl(u(t)\bigr)^{n} então
s'(t)=n\bigl(u(t)\bigr)^{n-1}u'(t).
No nosso caso n=\tfrac{3}{2} e u'(t)=\dfrac{d}{dt}\bigl(3+t-t^{2}\bigr)=1-2t. Aplicando a regra:
v(t)=s'(t)=\frac{3}{2}\bigl(u(t)\bigr)^{1/2}\,u'(t).
Substituindo u(t) e u'(t) obtemos
v(t)=\frac{3}{2}\bigl(3+t-t^{2}\bigr)^{1/2}\,(1-2t).

Passo 4

Explico de forma bem prática o que foi feito: diferenciar uma potência composta foi feito em dois passos — (i) derivar a potência exterior x^{3/2} dando \tfrac{3}{2}x^{1/2} e (ii) multiplicar pela derivada da parte interior 1-2t. Isso é exatamente a regra da cadeia. A expressão acima é a velocidade final.

Passo 5

Agora calculamos a aceleração a(t)=v'(t). Podemos derivar a forma encontrada para v(t). Para isso usamos a regra do produto (pois v(t) é produto de \frac{3}{2}(1-2t) por (3+t-t^{2})^{1/2}) e novamente a regra da cadeia para derivar a raiz. A regra do produto diz que se f(t)=p(t)q(t) então f'(t)=p'(t)q(t)+p(t)q'(t).
Seja p(t)=1-2t e q(t)=\bigl(u(t)\bigr)^{1/2} com u(t)=3+t-t^{2}. Então p'(t)=-2. Para q'(t) aplicamos a cadeia:
q'(t)=\frac{1}{2}\bigl(u(t)\bigr)^{-1/2}u'(t)=\frac{1}{2}\bigl(u(t)\bigr)^{-1/2}(1-2t).
Aplicando a regra do produto e lembrando do fator constante \tfrac{3}{2} que multiplica tudo em v(t), temos
a(t)=v'(t)=\frac{3}{2}\Bigl(p'(t)q(t)+p(t)q'(t)\Bigr).

Passo 6

Substituindo p'(t), p(t), q(t) e q'(t) obtemos
a(t)=\frac{3}{2}\Bigl(-2\bigl(u(t)\bigr)^{1/2}+(1-2t)\cdot\frac{1}{2}\bigl(u(t)\bigr)^{-1/2}(1-2t)\Bigr).
Colocando termos em evidência e simplificando coeficientes:
a(t)=-3\bigl(u(t)\bigr)^{1/2}+\frac{3}{4}(1-2t)^{2}\bigl(u(t)\bigr)^{-1/2}.
Fatorando \tfrac{3}{4}\bigl(u(t)\bigr)^{-1/2} fica uma forma mais compacta:
a(t)=\frac{3}{4}\bigl(u(t)\bigr)^{-1/2}\Bigl((1-2t)^{2}-4u(t)\Bigr).

Passo 7

Podemos também expandir a combinação (1-2t)^{2}-4u(t) para obter um polinômio no numerador. Calculando:
(1-2t)^{2}-4(3+t-t^{2})=1-4t+4t^{2}-12-4t+4t^{2}=8t^{2}-8t-11.
Portanto uma forma final conveniente para a aceleração é
a(t)=\frac{3\bigl(8t^{2}-8t-11\bigr)}{4\sqrt{3+t-t^{2}}}.
Essa expressão é equivalente à anterior e pode ser usada para avaliar a(t) em qualquer t do intervalo dado.

Passo 8

Agora resolvemos a parte (b): o corpo está parado quando v(t)=0. Da expressão de v(t)
v(t)=\frac{3}{2}\bigl(3+t-t^{2}\bigr)^{1/2}(1-2t),
há dois fatores que podem anular o produto. Primeiro \bigl(3+t-t^{2}\bigr)^{1/2}=0 quando 3+t-t^{2}=0. Essa equação quadrática tem raízes
t=\frac{1\pm\sqrt{13}}{2}.
Essas raízes são aproximadamente \dfrac{1-\sqrt{13}}{2} e \dfrac{1+\sqrt{13}}{2}. Ambas estão fora do intervalo [0,2] (uma é negativa e a outra maior que 2), portanto não interessam para nosso domínio. O outro fator é 1-2t=0, que dá
t=\frac{1}{2}.
Esse valor está dentro do intervalo 0\le t\le 2, logo o corpo fica parado em t=\tfrac{1}{2}.

Passo 9

Agora determinamos a posição s e a aceleração a nesse instante t=\tfrac{1}{2}.
Calcule u\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr):
u\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=3+\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{4}=\tfrac{13}{4}.
A posição é s=\bigl(u\bigr)^{3/2}, então
s\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\left(\tfrac{13}{4}\right)^{3/2}=\frac{13\sqrt{13}}{8}.

Passo 10

Para a aceleração usamos a forma simplificada obtida no Passo 7. Primeiro calcule o numerador em t=\tfrac{1}{2}:
8t^{2}-8t-11\biggr|_{t=\tfrac{1}{2}}=8\cdot\frac{1}{4}-8\cdot\frac{1}{2}-11=2-4-11=-13.
Substituindo em
a(t)=\frac{3\bigl(8t^{2}-8t-11\bigr)}{4\sqrt{3+t-t^{2}}},
temos
a\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\frac{3\cdot(-13)}{4\sqrt{\tfrac{13}{4}}}=\frac{-39}{4}\cdot\frac{1}{\sqrt{13}/2}=\frac{-39}{4}\cdot\frac{2}{\sqrt{13}}=-\frac{39}{2\sqrt{13}}.
Simplificando \dfrac{39}{\sqrt{13}}=3\sqrt{13} (pois 39=3\cdot13), obtemos
a\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=-\frac{3\sqrt{13}}{2}.

Resposta

(a) v(t)=\dfrac{3}{2}\bigl(3+t-t^{2}\bigr)^{1/2}(1-2t),\qquad a(t)=\dfrac{3\bigl(8t^{2}-8t-11\bigr)}{4\sqrt{3+t-t^{2}}}.
(b) t=\dfrac{1}{2}
\displaystyle s\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\dfrac{13\sqrt{13}}{8}
\displaystyle a\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{3\sqrt{13}}{2}

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