Determine a derivada segunda de cada função:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada segunda da função dada. A função fornecida é
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A variável é
. - A função trigonométrica é a tangente (escrita como
), que aqui será tratada como . - O objetivo é calcular
, a segunda derivada de .
Passo 2
Relembrando duas ferramentas essenciais que vamos usar (explicadas de forma prática):
- Regra da cadeia: se
, então
Aqui
é a derivada da função interna e
é a derivada da função externa avaliada na interna.
- Derivada da tangente: se
, então
onde
é a função secante, definida por
.
Essas duas fórmulas são suficientes para calcular
e depois
.
Passo 3
Aplicar a regra da cadeia para obter a primeira derivada. Defina a função interna
Então
Usando que
e a regra da cadeia,
Substituindo
obtemos
Fazendo a simplificação
, fica
Passo 4
Agora precisamos derivar
para obter
.
Para isso usamos novamente a regra da cadeia e a derivada da secante. A derivada da secante é
Para isso usamos novamente a regra da cadeia e a derivada da secante. A derivada da secante é
Podemos derivar
usando a regra da cadeia combinada com a regra da potência:
Passo 5
Aplicando a derivada ao
e lembrando que a função interna continua sendo
com
, temos
Simplificando os fatores numéricos:
. Então