Determine a derivada segunda de cada função:
f(x)=9 \operatorname{tg}\left(\frac{x}{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada segunda da função dada. A função fornecida é
f(x)=9\operatorname{tg}\!\left(\frac{x}{3}\right).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A variável é x.
  • A função trigonométrica é a tangente (escrita como \operatorname{tg}), que aqui será tratada como \tan.
  • O objetivo é calcular f''(x), a segunda derivada de f.

Passo 2

Relembrando duas ferramentas essenciais que vamos usar (explicadas de forma prática):
  1. Regra da cadeia: se F(x)=G(H(x)), então
F'(x)=G'(H(x))\cdot H'(x).
Aqui H'(x) é a derivada da função interna e G' é a derivada da função externa avaliada na interna.
  1. Derivada da tangente: se G(u)=\tan(u), então
\frac{d}{du}\tan(u)=\operatorname{sec}^2(u),
onde \operatorname{sec}(u) é a função secante, definida por \operatorname{sec}(u)=\dfrac{1}{\cos(u)}.
Essas duas fórmulas são suficientes para calcular f'(x) e depois f''(x).

Passo 3

Aplicar a regra da cadeia para obter a primeira derivada. Defina a função interna
u(x)=\frac{x}{3}.
Então u'(x)=\dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{x}{3}\right)=\dfrac{1}{3}.
Usando que \dfrac{d}{du}\tan(u)=\operatorname{sec}^2(u) e a regra da cadeia,
f'(x)=9\cdot \frac{d}{dx}\tan\!\left(u(x)\right) =9\cdot \operatorname{sec}^2\!\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
Substituindo u'(x)=\dfrac{1}{3} obtemos
f'(x)=9\cdot \operatorname{sec}^2\!\left(\frac{x}{3}\right)\cdot\frac{1}{3}.
Fazendo a simplificação 9\cdot\frac{1}{3}=3, fica
f'(x)=3\operatorname{sec}^2\!\left(\frac{x}{3}\right).

Passo 4

Agora precisamos derivar f'(x)=3\operatorname{sec}^2\!\left(\dfrac{x}{3}\right) para obter f''(x).
Para isso usamos novamente a regra da cadeia e a derivada da secante. A derivada da secante é
\frac{d}{du}\operatorname{sec}(u)=\operatorname{sec}(u)\tan(u).
Podemos derivar \operatorname{sec}^2(u) usando a regra da cadeia combinada com a regra da potência:
\frac{d}{du}\operatorname{sec}^2(u)=2\operatorname{sec}(u)\cdot\frac{d}{du}\operatorname{sec}(u)=2\operatorname{sec}(u)\cdot\big(\operatorname{sec}(u)\tan(u)\big)=2\operatorname{sec}^2(u)\tan(u).

Passo 5

Aplicando a derivada ao f'(x) e lembrando que a função interna continua sendo u(x)=\dfrac{x}{3} com u'(x)=\dfrac{1}{3}, temos
f''(x)=3\cdot\frac{d}{dx}\left[\operatorname{sec}^2\!\left(\frac{x}{3}\right)\right] =3\cdot\left(2\operatorname{sec}^2\!\left(\frac{x}{3}\right)\tan\!\left(\frac{x}{3}\right)\cdot\frac{1}{3}\right).
Simplificando os fatores numéricos: 3\cdot 2\cdot\frac{1}{3}=2. Então
f''(x)=2\operatorname{sec}^2\!\left(\frac{x}{3}\right)\tan\!\left(\frac{x}{3}\right).

Resposta

f''(x)=2\operatorname{sec}^2\!\left(\frac{x}{3}\right)\tan\!\left(\frac{x}{3}\right)

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