Um sistema constitui em 2[k g] de água a 100\left[{ }^{\circ} \mathrm{C}\right] e 1[ bar ]. Determine sua exergia, em kJ , se o sistema se encontra em repouso a uma atura zero, em relação ao ambiente de referência para exergia, para o qual T_{0}=20\left[{ }^{\circ} \mathrm{C}\right] e p_{0}=1[ bar ].

Passo 1

Dados do enunciado e o que é pedido.
  • Massa do sistema: m=2\\ \mathrm{kg}.
  • Substância: água (estado líquido presumido) à temperatura T=100\left[{}^{\circ}\mathrm{C}\right] e pressão p=1\\ \mathrm{bar}.
  • Ambiente de referência (estado morto): T_{0}=20\left[{}^{\circ}\mathrm{C}\right] e p_{0}=1\\ \mathrm{bar}.
  • Sistema em repouso e com diferença de altura zero (energia cinética e potencial desprezíveis).
O que se pede: determinar a exergia total do sistema (em kJ) em relação ao ambiente dado.
Observações importantes (do enunciado): temos um sistema fechado (quantidade fixa de massa), sem movimento e sem diferença de altura, então usaremos a expressão de exergia para sistema fechado.

Passo 2

Fórmula geral usada (explicação conceitual e significado das grandezas).
Para um sistema fechado, em repouso e com altura de referência zero, a exergia total E_{x} (também chamada de disponibilidade física) é dada por
E_{x}=m\left[(u-u_{0})+p_{0}(v-v_{0})-T_{0}(s-s_{0})\right],
onde:
  • m é a massa do sistema (em \mathrm{kg});
  • u é a energia interna específica do estado do sistema (em \mathrm{kJ/kg});
  • u_{0} é a energia interna específica no estado morto (referência) (em \mathrm{kJ/kg});
  • v e v_{0} são os volumes específicos do estado do sistema e do estado morto (em \mathrm{m^{3}/kg});
  • s e s_{0} são as entropias específicas do estado do sistema e do estado morto (em \mathrm{kJ/(kg\cdot K)});
  • p_{0} é a pressão do ambiente (em \mathrm{kPa} ou \mathrm{kN/m^{2}});
  • T_{0} é a temperatura do ambiente em Kelvin (em \mathrm{K}).
Comentário didático: a expressão combina a diferença de energia interna (capacidade do fluido de fornecer trabalho térmico) com o trabalho de pressão do ambiente e subtrai a parcela irreversível associada à entropia multiplicada por T_{0}. É a energia que pode, idealmente, ser convertida em trabalho útil quando o sistema é levado ao estado morto reversivelmente.

Passo 3

Como obter u-u_{0} e s-s_{0} para água líquida entre 20\left[{}^{\circ}\mathrm{C}\right] e 100\left[{}^{\circ}\mathrm{C}\right]: aproximação de líquido incompressível.
Explicação didática: para líquidos praticamente incompressíveis (água líquida), as variações de energia interna e entropia entre duas temperaturas podem ser aproximadas por:
u-u_{0}\approx c\,(T-T_{0})
s-s_{0}\approx c\ln\!\left(\frac{T}{T_{0}}\right),
onde c é o calor específico do líquido (à pressão constante, mas para líquidos a diferença entre c_p e c_v é desprezível). Essas fórmulas vêm de integrar du\approx c\,dT e ds=\frac{c}{T}\,dT assumindo c aproximadamente constante. Essa é uma aproximação padrão em termodinâmica para líquidos quando não há mudança de fase.
Vamos usar c=4,18\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} (valor tabulado aproximado para água líquida).
Converter temperaturas para Kelvin:
T=100\left[{}^{\circ}\mathrm{C}\right]=373,15\\ \mathrm{K},\qquad T_{0}=20\left[{}^{\circ}\mathrm{C}\right]=293,15\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Calcular u-u_{0} usando a aproximação linear.
u-u_{0}\approx c\,(T-T_{0})=4,18\cdot(373,15-293,15)=4,18\cdot 80=334,4\\ \mathrm{kJ/kg}.
Explicação: a energia interna específica aumenta aproximadamente 4,18\\ \mathrm{kJ/kg\cdot K} por grau quando aquecemos água líquida.

Passo 5

Calcular s-s_{0} usando a expressão logarítmica.
s-s_{0}\approx c\ln\!\left(\frac{T}{T_{0}}\right)=4,18\cdot\ln\!\left(\frac{373,15}{293,15}\right).
Calcule a razão e o logaritmo:
\frac{373,15}{293,15}\approx 1,2727,\qquad \ln(1,2727)\approx 0,2417.
Portanto
s-s_{0}\approx 4,18\cdot 0,2417\approx 1,011\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
Agora multiplicamos por T_{0} (em K) para obter T_{0}(s-s_{0}):
T_{0}(s-s_{0})=293,15\cdot 1,011\approx 296,4\\ \mathrm{kJ/kg}.
Comentário: essa parcela representa a “energia indisponível” associada ao aumento de entropia quando se traz o fluido à temperatura ambiente.

Passo 6

Avaliar p_{0}(v-v_{0}). (Escolha de valores de volumes específicos e justificativa.)
Explicação: para líquidos, o volume específico varia muito pouco com temperatura e pressão. Podemos usar valores típicos da tabela de vapor (saturated liquid) como aproximação para v. Usarei valores aproximados (tomados de tabelas padrão de vapor d’água): para água líquida saturada
  • a 100\left[{}^{\circ}\mathrm{C}\right]: v\approx 0,001043\\ \mathrm{m^{3}/kg},
  • a 20\left[{}^{\circ}\mathrm{C}\right]: v_{0}\approx 0,001002\\ \mathrm{m^{3}/kg}.
(obs.: peguei esses valores de referência típicos de tabelas termodinâmicas; a diferença é muito pequena porque líquido é quase incompressível.)
Calcule a diferença:
v-v_{0}=0,001043-0,001002=0,000041\\ \mathrm{m^{3}/kg}.
Converter p_{0}=1\\ \mathrm{bar}=100\\ \mathrm{kPa}. Então
p_{0}(v-v_{0})=100\\ \mathrm{kPa}\times 0,000041\\ \mathrm{m^{3}/kg}=100\cdot 0,000041\\ \mathrm{kJ/kg}=0,0041\\ \mathrm{kJ/kg}.
Comentário: essa parcela é negligivelmente pequena em comparação com as outras (ordem de 10^{-3} a 10^{-2}\\ \mathrm{kJ/kg}).

Passo 7

Montar a exergia específica e e depois a exergia total E_{x}.
A exergia específica é
e=(u-u_{0})+p_{0}(v-v_{0})-T_{0}(s-s_{0}).
Substituindo os valores calculados:
e\approx 334,4 + 0,0041 - 296,4 = 38,0041\\ \mathrm{kJ/kg}.
Arredondando com razoável fidelidade:
e\approx 38,0\\ \mathrm{kJ/kg}.
A exergia total para m=2\\ \mathrm{kg} é
E_{x}=m\,e=2\cdot 38,0041\approx 76,0082\\ \mathrm{kJ}.
Arredondando:
E_{x}\approx 76,0\\ \mathrm{kJ}.

Passo 8

Observações finais e sobre a precisão.
  • Principais aproximações feitas: tratei a água como líquido praticamente incompressível e usei calor específico constante c=4,18\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}. Usei volumes específicos típicos de tabela para água líquida saturada como aproximação para os volumes reais. Essas aproximações são perfeitamente aceitáveis para cálculos de exergia de água líquida entre 20^\circ\mathrm{C} e 100^\circ\mathrm{C}; o termo de pressão é desprezível.
  • Erro esperado por essas aproximações é pequeno (alguns por cento no máximo). Se quiser exatidão maior, usar tabelas termodinâmicas para u e s nos dois estados (100 °C, 1 bar e 20 °C, 1 bar comprimido) dará resultado praticamente idêntico ao obtido.
Força aí — já tem a resposta numérica e toda a ideia de como você pode refazer isso na prova passo a passo!

Resposta

\;76,0\\ \mathrm{kJ}

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