4.8 ( \mathbf{2 , 5} pontos): Uma casca esférica de raio igual a 9 cm possui uma densidade superficial de carga igua 9 \mathrm{nC} / \mathrm{m}^{2}. O campo elétrico a 4 cm é aproximadamente
( ) 0,13 \mathrm{kN} / \mathrm{C}
( ) 1 \mathrm{kN} / \mathrm{C}
( ) 0,75 \mathrm{kN} / \mathrm{C}
( ) 0,32 \mathrm{kN} / \mathrm{C}
( ) 0

Passo 1

O enunciado pede para calcular o campo elétrico a uma distância de 4\\ \mathrm{cm} do centro de uma casca esférica de raio 9\\ \mathrm{cm} com densidade superficial de carga igual a 9\\ \mathrm{nC}/\mathrm{m}^{2}. Dados relevantes fornecidos:
  • Raio da casca: \displaystyle R = 9\\ \mathrm{cm} = 0{,}09\\ \mathrm{m}.
  • Densidade superficial de carga: \displaystyle \sigma = 9\\ \mathrm{nC}/\mathrm{m}^{2} = 9\times 10^{-9}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}.
  • Ponto onde queremos o campo: \displaystyle r = 4\\ \mathrm{cm} = 0{,}04\\ \mathrm{m}, que satisfaz r<R.
    A pergunta é: qual é o módulo do campo elétrico em r=4\\ \mathrm{cm}? (As opções incluem 0.)

Passo 2

Apresentando a ferramenta que vamos usar: a Lei de Gauss. A Lei de Gauss diz que a integral de fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total encerrada por essa superfície dividida pela permissividade do vácuo. Em fórmulas:
\oint_{\text{superf.}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0},
onde:
  • \mathbf{E} é o campo elétrico,
  • d\mathbf{A} é o elemento de área vetorial da superfície fechada,
  • Q_{\text{enc}} é a carga total encerrada pela superfície,
  • \varepsilon_0 é a permissividade elétrica do vácuo, \displaystyle \varepsilon_0\approx 8{,}85\times 10^{-12}\\ \mathrm{C}^2/(\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^2).
Vou explicar o que cada termo significa: a integral \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} soma o fluxo do campo por toda a superfície; se a carga está fora da superfície, ela não contribui para Q_{\text{enc}}. É isso que vamos usar.

Passo 3

Escolha da superfície de Gauss e uso da simetria. Como a casca é esférica e a distribuição de carga é uniforme na superfície, o campo — se existir — será radial e com mesmo módulo em todos os pontos de uma esfera concêntrica. Então escolhemos uma esfera de raio \displaystyle r=0{,}04\\ \mathrm{m} como superfície de Gauss. Para essa superfície:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\cdot 4\pi r^2,
pois \mathbf{E} é radial e constante em módulo sobre a superfície esférica.

Passo 4

Determinar a carga encerrada Q_{\text{enc}}. A casca tem toda a carga localizada na superfície esférica de raio R=0{,}09\\ \mathrm{m}. A nossa superfície de Gauss tem raio r=0{,}04\\ \mathrm{m}, que está estritamente dentro da casca ( r<R). Portanto, nenhuma carga está localizada no interior da superfície de Gauss: toda a carga está fora. Logo,
Q_{\text{enc}}=0.
É importante entender isto: a Lei de Gauss usa somente a carga que está dentro da superfície escolhida; cargas fora não aparecem em Q_{\text{enc}}.

Passo 5

Aplicando a Lei de Gauss com Q_{\text{enc}}=0. Substituindo na expressão do Passo 3:
E(r)\cdot 4\pi r^2=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}=\frac{0}{\varepsilon_0}=0.
Dividindo ambos os lados por 4\pi r^2 (que é positivo), obtemos:
E(r)=0.

Passo 6

Interpretação física (intuição). Outra forma de ver: para uma casca esférica com carga uniformemente distribuída na superfície, o campo no interior é nulo por simetria — os contributions das diferentes partes da casca se cancelam exatamente no interior. Isso vale mesmo que a casca não seja condutora; é uma consequência direta da solução do problema de potencial/superposição e da Lei de Gauss.

Passo 7

Conclusão final rápida e encorajamento. O campo elétrico no ponto a 4\\ \mathrm{cm} do centro, estando esse ponto dentro da casca de raio 9\\ \mathrm{cm}, é exatamente zero. Você já chega na prova lembrando: “se estou dentro de uma casca esférica com carga apenas na superfície, o campo é zero” — é uma regra muito útil e salva tempo.

Resposta

0

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