4.8 (
pontos): Uma casca esférica de raio igual a 9 cm possui uma densidade superficial de carga igua
. O campo elétrico a 4 cm é aproximadamente
( )
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( ) 0
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( ) 0
Passo 1
O enunciado pede para calcular o campo elétrico a uma distância de
do centro de uma casca esférica de raio
com densidade superficial de carga igual a
. Dados relevantes fornecidos:
- Raio da casca:
. - Densidade superficial de carga:
. - Ponto onde queremos o campo:
, que satisfaz .
A pergunta é: qual é o módulo do campo elétrico em? (As opções incluem .)
Passo 2
Apresentando a ferramenta que vamos usar: a Lei de Gauss. A Lei de Gauss diz que a integral de fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total encerrada por essa superfície dividida pela permissividade do vácuo. Em fórmulas:
onde:
-
é o campo elétrico, -
é o elemento de área vetorial da superfície fechada, -
é a carga total encerrada pela superfície, -
é a permissividade elétrica do vácuo, .
Vou explicar o que cada termo significa: a integral
soma o fluxo do campo por toda a superfície; se a carga está fora da superfície, ela não contribui para
. É isso que vamos usar.
Passo 3
Escolha da superfície de Gauss e uso da simetria. Como a casca é esférica e a distribuição de carga é uniforme na superfície, o campo — se existir — será radial e com mesmo módulo em todos os pontos de uma esfera concêntrica. Então escolhemos uma esfera de raio
como superfície de Gauss. Para essa superfície:
pois
é radial e constante em módulo sobre a superfície esférica.
Passo 4
Determinar a carga encerrada
. A casca tem toda a carga localizada na superfície esférica de raio
. A nossa superfície de Gauss tem raio
, que está estritamente dentro da casca (
). Portanto, nenhuma carga está localizada no interior da superfície de Gauss: toda a carga está fora. Logo,
É importante entender isto: a Lei de Gauss usa somente a carga que está dentro da superfície escolhida; cargas fora não aparecem em
.
Passo 5
Aplicando a Lei de Gauss com
. Substituindo na expressão do Passo 3:
Dividindo ambos os lados por
(que é positivo), obtemos:
Passo 6
Interpretação física (intuição). Outra forma de ver: para uma casca esférica com carga uniformemente distribuída na superfície, o campo no interior é nulo por simetria — os contributions das diferentes partes da casca se cancelam exatamente no interior. Isso vale mesmo que a casca não seja condutora; é uma consequência direta da solução do problema de potencial/superposição e da Lei de Gauss.
Passo 7
Conclusão final rápida e encorajamento. O campo elétrico no ponto a
do centro, estando esse ponto dentro da casca de raio
, é exatamente zero. Você já chega na prova lembrando: “se estou dentro de uma casca esférica com carga apenas na superfície, o campo é zero” — é uma regra muito útil e salva tempo.