Um corpo preso a uma dada mola de constante k=100 \mathrm{~N} / \mathrm{m} está apoiado sobre uma mesa sem atrito. A mola é esticada até uma distância igual a 10 cm em relação à posição de equilibrio; neste ponto o corpo é largado e começa a executar um movimento harmônico simples com período igual a 2 s. Determine: (a) a massa do corpo; (b) a expressão do deslocamento em função do tempo, (c) a expressāo da velocidade em funçāo do tempo;
(d) a expressão da velocidade em função de x. Use o sistema no SI.

Passo 1

O enunciado descreve um corpo preso a uma mola de constante k=100\\ \mathrm{N/m}, apoiado sobre uma mesa sem atrito. A mola é esticada até A=10\\ \mathrm{cm}=0{,}10\\ \mathrm m em relação à posição de equilíbrio e largada, executando um movimento harmônico simples (MHS) de período T=2\\ \mathrm s. Precisamos encontrar:
(a) a massa m do corpo;
(b) a expressão do deslocamento x(t);
(c) a expressão da velocidade v(t);
(d) a expressão da velocidade v em função de x.

Passo 2

Para achar a massa usamos a relação do período do MHS:
T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}.
Isolando m,
m = \frac{k\,T^2}{4\pi^2}.
Substituindo k=100\\ \mathrm{N/m} e T=2\\ \mathrm s,
m = \frac{100\cdot(2)^2}{4\pi^2} = \frac{100\cdot4}{4\pi^2} = \frac{100}{\pi^2} \approx 10{,}13\\ \mathrm{kg}.

Passo 3

O módulo da velocidade angular é
\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2} = \pi\\ \mathrm{rad/s}.
No instante de liberação t=0, temos x(0)=A e v(0)=0. Portanto, a solução geral do deslocamento é
x(t) = A\cos(\omega t)
ou seja
x(t) = 0{,}10\cos(\pi t)\quad(\mathrm m).

Passo 4

A velocidade instantânea é a derivada de x(t):
v(t) = \frac{dx}{dt} = -A\,\omega\,\sin(\omega t).
Substituindo A=0{,}10\\ \mathrm m e \omega=\pi\\ \mathrm{rad/s},
v(t) = -0{,}10\,\pi\,\sin(\pi t)\quad(\mathrm{m/s}).

Passo 5

Para expressar v em função de x, usamos a conservação de energia ou a identidade do MHS:
v^2 + \omega^2 x^2 = \omega^2 A^2.
Logo
v^2 = \omega^2\bigl(A^2 - x^2\bigr) \quad\Longrightarrow\quad v(x) = \pm \omega \sqrt{A^2 - x^2}.
Substituindo \omega=\pi e A=0{,}10\\ \mathrm m,
v(x) = \pm \pi\,\sqrt{0{,}01 - x^2}\quad(\mathrm{m/s}).

Resposta

(a) m \approx 10{,}13\\ \mathrm{kg}.
(b) x(t) = 0{,}10\cos(\pi t)\\ \mathrm m.
(c) v(t) = -0{,}10\,\pi\,\sin(\pi t)\\ \mathrm{m/s}.
(d) v(x) = \pm \pi\,\sqrt{0{,}01 - x^2}\\ \mathrm{m/s}.

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