Uma particula descreve um movimento circular uniforme de raio R=2 \mathrm{~m}. A aceleração centrípeta da partícula é igual a 18 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Considere um sistema de coordenadas Oxy com a origem no centro da circunferência. Para t=0, o ângulo formado entre o eixo O x e o vetor posição da partícula é dado por: \varphi=0. (a) Escreva a equação do deslocamento para o movimento harmónico simples que ocorre no eixo O x. (b) Determine a equação do deslocamento para o movimento harmônico simples ao longo do eixo Oy . (c) Calcule o período destes dois movimentos harmônicos simples.
\begin{aligned} \text { Respostas: (a) } x & =2 \cos 3 t ; \\ \text { (b) } y & =2 \operatorname{sen} 3 t ; \\ \text { \text{(c)} } T & =2,1 \mathrm{~s} . \end{aligned}

Passo 1

O enunciado descreve uma partícula em movimento circular uniforme de raio R=2\\ \mathrm{m}, cuja aceleração centrípeta vale a_c=18\\ \mathrm{m/s^2}. O ângulo inicial em t=0 é \varphi(0)=0, ou seja, a partícula começa em x=R, y=0. Precisamos usar a relação
a_c=\omega^2R
para achar a velocidade angular \omega, e em seguida lembrar que as projeções x(t) e y(t) desse movimento circular uniforme são movimentos harmônicos simples (MHS) de amplitude R e frequência angular \omega. Finalmente, calculamos o período
T=\frac{2\pi}{\omega}\,.

Passo 2

Usamos a definição de aceleração centrípeta para obter \omega:
a_c = \omega^2\,R \quad\Longrightarrow\quad \omega = \sqrt{\frac{a_c}{R}} = \sqrt{\frac{18}{2}} = \sqrt{9} =3\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

A projeção no eixo O x é um MHS de amplitude R, frequência angular \omega e fase inicial zero. Logo,
x(t) = R\cos\bigl(\omega t + 0\bigr) =2\cos(3t).

Passo 4

De modo análogo, a projeção no eixo O y é um MHS de mesma amplitude e frequência, mas defasada de +\pi/2 em relação ao cosseno. Como \sin(\theta)=\cos(\theta-\tfrac\pi2), podemos escrever diretamente
y(t)=R\sin\bigl(\omega t +0\bigr) =2\,\operatorname{sen}(3t).

Passo 5

O período comum dos dois MHS é
T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{3} \approx2{,}09\\ \mathrm{s},
que, arredondando, dá T=2{,}1\\ \mathrm{s}.

Resposta

(a) x=2\cos(3t)
(b) y=2\operatorname{sen}(3t)
(c) T=2{,}1\\ \mathrm{s}

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