Uma particula descreve um movimento circular uniforme de raio
. A aceleração centrípeta da partícula é igual a
. Considere um sistema de coordenadas Oxy com a origem no centro da circunferência. Para
, o ângulo formado entre o eixo
e o vetor posição da partícula é dado por:
. (a) Escreva a equação do deslocamento para o movimento harmónico simples que ocorre no eixo
. (b) Determine a equação do deslocamento para o movimento harmônico simples ao longo do eixo Oy . (c) Calcule o período destes dois movimentos harmônicos simples.
Passo 1
O enunciado descreve uma partícula em movimento circular uniforme de raio
, cuja aceleração centrípeta vale
. O ângulo inicial em
é
, ou seja, a partícula começa em
,
. Precisamos usar a relação
para achar a velocidade angular
, e em seguida lembrar que as projeções
e
desse movimento circular uniforme são movimentos harmônicos simples (MHS) de amplitude
e frequência angular
. Finalmente, calculamos o período
Passo 2
Usamos a definição de aceleração centrípeta para obter
:
Passo 3
A projeção no eixo
é um MHS de amplitude
, frequência angular
e fase inicial zero. Logo,
Passo 4
De modo análogo, a projeção no eixo
é um MHS de mesma amplitude e frequência, mas defasada de
em relação ao cosseno. Como
, podemos escrever diretamente
Passo 5
O período comum dos dois MHS é
que, arredondando, dá
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)