Um corpo de prova de aço com diâmetro original de 25mm e comprimento de referência de 50mm foi submetido a um ensaio de tração. Os dados resultantes do teste são apresentados na tabela:
Carga <br>
|
Alongamento <br>
|
---|---|
0,00 | 0,000 |
3,68 | 0,045 |
7,36 | 0,090 |
11,04 | 0,135 |
13,74 | 0,180 |
16,20 | 0,275 |
17,18 | 0,350 |
16,20 | 0,450 |
14,23 | 0,550 |
12,27 | 0,600 |
Construa o diagrama tensão-deformação e determine os valores aproximados do módulo de elasticidade
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de resistência dos materiais onde um pedaço de aço com diâmetro original de 25 mm e comprimento de referência de 50 mm foi submetido a um teste de tração. A tabela nos dá as cargas aplicadas (em kN) e o alongamento resultante (em mm). Nosso objetivo aqui é construir o diagrama tensão-deformação desse material e encontrar o valor aproximado do módulo de elasticidade. Para isso, vamos precisar lembrar como calcular tensão e deformação, além de entender como o módulo de elasticidade está relacionado com esses valores.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a tensão (σ) em cada ponto da tabela. A tensão é basicamente a força aplicada dividida pela área da seção transversal do material. A fórmula é:
Onde:
- $ F $ é a força em Newtons (N).
- $ A $ é a área da seção transversal em mm².
Como a carga está em kN, vamos converter para N multiplicando por 1000.
A área da seção transversal ($ A $) de um círculo é calculada por:
Com $ d = 25 $ mm:
Agora, vamos calcular a tensão para cada carga:
Carga $ F $ (kN) | Carga $ F $ (N) | Tensão $ \sigma $ (MPa) |
---|---|---|
0,00 | 0 | 0,00 |
3,68 | 3680 | $ \frac{3680}{490,87} \approx 7,50 $ MPa |
7,36 | 7360 | $ \frac{7360}{490,87} \approx 15,00 $ MPa |
11,04 | 11040 | $ \frac{11040}{490,87} \approx 22,50 $ MPa |
13,74 | 13740 | $ \frac{13740}{490,87} \approx 28,00 $ MPa |
16,20 | 16200 | $ \frac{16200}{490,87} \approx 33,00 $ MPa |
17,18 | 17180 | $ \frac{17180}{490,87} \approx 35,00 $ MPa |
16,20 | 16200 | $ \frac{16200}{490,87} \approx 33,00 $ MPa |
14,23 | 14230 | $ \frac{14230}{490,87} \approx 29,00 $ MPa |
12,27 | 12270 | $ \frac{12270}{490,87} \approx 25,00 $ MPa |
Passo 3
Agora, vamos calcular a deformação (ε) para cada ponto. A deformação é o alongamento dividido pelo comprimento original. A fórmula é:
Onde:
- $ \Delta L $ é o alongamento em mm.
- $ L_0 $ é o comprimento original em mm (50 mm).
Vamos calcular:
Alongamento $ \Delta L $ (mm) | Deformação $ \varepsilon $ (mm/mm) |
---|---|
0,000 | $ \frac{0,000}{50} = 0,0000 $ |
0,045 | $ \frac{0,045}{50} = 0,0009 $ |
0,090 | $ \frac{0,090}{50} = 0,0018 $ |
0,135 | $ \frac{0,135}{50} = 0,0027 $ |
0,180 | $ \frac{0,180}{50} = 0,0036 $ |
0,275 | $ \frac{0,275}{50} = 0,0055 $ |
0,350 | $ \frac{0,350}{50} = 0,0070 $ |
0,450 | $ \frac{0,450}{50} = 0,0090 $ |
0,550 | $ \frac{0,550}{50} = 0,0110 $ |
0,600 | $ \frac{0,600}{50} = 0,0120 $ |
Passo 4
Com os valores de tensão e deformação calculados, podemos construir o diagrama tensão-deformação. Esse diagrama nos mostra como o material se comporta sob carga, indicando a relação entre a tensão aplicada e a deformação resultante.
Como não podemos desenhar aqui, vamos observar os primeiros pontos que geralmente estão na região elástica, onde a deformação é proporcional à tensão. A partir dessa região linear, podemos determinar o módulo de elasticidade (E), que é a inclinação dessa parte reta do gráfico.
Passo 5
Para encontrar o módulo de elasticidade, vamos usar a relação:
Vamos pegar dois pontos da região linear:
- Ponto inicial: $ \sigma_1 = 0 $ MPa, $ \varepsilon_1 = 0,0000 $
- Ponto até $ \sigma_5 = 28,00 $ MPa, $ \varepsilon_5 = 0,0036 $
Aplicando a fórmula:
Convertendo para GPa (já que 1 GPa = 1000 MPa):
Resposta
O módulo de elasticidade aproximado do aço é de 7,78 GPa.