Um corpo de prova de aço com diâmetro original de 25mm e comprimento de referência de 50mm foi submetido a um ensaio de tração. Os dados resultantes do teste são apresentados na tabela:
Carga <br> (kN) Alongamento <br> (mm)
0,00 0,000
3,68 0,045
7,36 0,090
11,04 0,135
13,74 0,180
16,20 0,275
17,18 0,350
16,20 0,450
14,23 0,550
12,27 0,600
Construa o diagrama tensão-deformação e determine os valores aproximados do módulo de elasticidade

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de resistência dos materiais onde um pedaço de aço com diâmetro original de 25 mm e comprimento de referência de 50 mm foi submetido a um teste de tração. A tabela nos dá as cargas aplicadas (em kN) e o alongamento resultante (em mm). Nosso objetivo aqui é construir o diagrama tensão-deformação desse material e encontrar o valor aproximado do módulo de elasticidade. Para isso, vamos precisar lembrar como calcular tensão e deformação, além de entender como o módulo de elasticidade está relacionado com esses valores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a tensão (σ) em cada ponto da tabela. A tensão é basicamente a força aplicada dividida pela área da seção transversal do material. A fórmula é:
sigma = FA
Onde:
  • $ F $ é a força em Newtons (N).
  • $ A $ é a área da seção transversal em mm².
Como a carga está em kN, vamos converter para N multiplicando por 1000.
A área da seção transversal ($ A $) de um círculo é calculada por:
F
Com $ d = 25 $ mm:
A ²
Agora, vamos calcular a tensão para cada carga:
Carga $ F $ (kN) Carga $ F $ (N) Tensão $ \sigma $ (MPa)
0,00 0 0,00
3,68 3680 $ \frac{3680}{490,87} \approx 7,50 $ MPa
7,36 7360 $ \frac{7360}{490,87} \approx 15,00 $ MPa
11,04 11040 $ \frac{11040}{490,87} \approx 22,50 $ MPa
13,74 13740 $ \frac{13740}{490,87} \approx 28,00 $ MPa
16,20 16200 $ \frac{16200}{490,87} \approx 33,00 $ MPa
17,18 17180 $ \frac{17180}{490,87} \approx 35,00 $ MPa
16,20 16200 $ \frac{16200}{490,87} \approx 33,00 $ MPa
14,23 14230 $ \frac{14230}{490,87} \approx 29,00 $ MPa
12,27 12270 $ \frac{12270}{490,87} \approx 25,00 $ MPa

Passo 3

Agora, vamos calcular a deformação (ε) para cada ponto. A deformação é o alongamento dividido pelo comprimento original. A fórmula é:
varepsilon = De
Onde:
  • $ \Delta L $ é o alongamento em mm.
  • $ L_0 $ é o comprimento original em mm (50 mm).
Vamos calcular:
Alongamento $ \Delta L $ (mm) Deformação $ \varepsilon $ (mm/mm)
0,000 $ \frac{0,000}{50} = 0,0000 $
0,045 $ \frac{0,045}{50} = 0,0009 $
0,090 $ \frac{0,090}{50} = 0,0018 $
0,135 $ \frac{0,135}{50} = 0,0027 $
0,180 $ \frac{0,180}{50} = 0,0036 $
0,275 $ \frac{0,275}{50} = 0,0055 $
0,350 $ \frac{0,350}{50} = 0,0070 $
0,450 $ \frac{0,450}{50} = 0,0090 $
0,550 $ \frac{0,550}{50} = 0,0110 $
0,600 $ \frac{0,600}{50} = 0,0120 $

Passo 4

Com os valores de tensão e deformação calculados, podemos construir o diagrama tensão-deformação. Esse diagrama nos mostra como o material se comporta sob carga, indicando a relação entre a tensão aplicada e a deformação resultante.
Como não podemos desenhar aqui, vamos observar os primeiros pontos que geralmente estão na região elástica, onde a deformação é proporcional à tensão. A partir dessa região linear, podemos determinar o módulo de elasticidade (E), que é a inclinação dessa parte reta do gráfico.

Passo 5

Para encontrar o módulo de elasticidade, vamos usar a relação:
E = sigmavarepsilon
Vamos pegar dois pontos da região linear:
  1. Ponto inicial: $ \sigma_1 = 0 $ MPa, $ \varepsilon_1 = 0,0000 $
  2. Ponto até $ \sigma_5 = 28,00 $ MPa, $ \varepsilon_5 = 0,0036 $
Aplicando a fórmula:
sigma1 = 0
Convertendo para GPa (já que 1 GPa = 1000 MPa):
varepsilon1 = 0,0000

Resposta

O módulo de elasticidade aproximado do aço é de 7,78 GPa.

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