Para a situação de equilíbrio dada, a curva que passa pelos pontos onde se encontram os pesos suspensos é uma catenária. O ângulo
tem
, os pesos suspensos têm intensidades iguais, de 4 N cada. Os segmentos de cabo têm comprimento de 8 cm . Calcule o que for necessário e apresente os valores:
Das dimensões, horizontal e vertical:
Das dimensões, horizontal e vertical:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma situação de equilíbrio onde a curva formada pelos pesos suspensos é uma catenária. Temos um ângulo
de
, dois pesos iguais de 4 N cada, e segmentos de cabo com 8 cm de comprimento. Nosso objetivo é encontrar a dimensão horizontal, que é
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma catenária. Uma catenária é a curva que uma corrente ou cabo forma quando está suspenso apenas pela força da gravidade e está em equilíbrio. A fórmula geral da catenária é:
Mas para simplificar, vamos considerar apenas o equilíbrio dos cabos.
Passo 3
Como os pesos são iguais e os segmentos de cabo têm o mesmo comprimento, o sistema está simétrico. Isso significa que o ângulo
de
é o mesmo em ambos os lados do cabo.
Passo 4
Vamos desenhar um triângulo formado pelo segmento do cabo, a dimensão horizontal
e a dimensão vertical
. O ângulo adjacente à horizontal é
.
Passo 5
Sabemos que a tangente de um ângulo em um triângulo retângulo relaciona o lado oposto com o lado adjacente. Então:
Aqui, dividimos
por 2 porque o triângulo está dividido ao meio devido à simetria.
Passo 6
Vamos rearranjar a equação para encontrar
:
Passo 7
Agora, precisamos encontrar
. Sabemos que cada peso é de 4 N e que os cabos têm 8 cm. A força vertical deve equilibrar os pesos, então:
Aqui,
é a tensão no cabo. Como os cabos são iguais, podemos simplificar:
Passo 8
Vamos calcular a tensão
:
Calculando
:
Passo 9
Agora, a dimensão vertical
pode ser relacionada ao comprimento do cabo e ao ângulo:
Calculando
:
Passo 10
Voltando à equação da dimensão horizontal:
Calculando
:
Resposta
A dimensão horizontal
é aproximadamente 61,5 cm.