Para a situação de equilíbrio dada, a curva que passa pelos pontos onde se encontram os pesos suspensos é uma catenária. O ângulo alpha4 tem 27i ^circ, os pesos suspensos têm intensidades iguais, de 4 N cada. Os segmentos de cabo têm comprimento de 8 cm . Calcule o que for necessário e apresente os valores:
Das dimensões, horizontal e vertical:
dH=

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma situação de equilíbrio onde a curva formada pelos pesos suspensos é uma catenária. Temos um ângulo alpha4 de 27^circ, dois pesos iguais de 4 N cada, e segmentos de cabo com 8 cm de comprimento. Nosso objetivo é encontrar a dimensão horizontal, que é dH.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma catenária. Uma catenária é a curva que uma corrente ou cabo forma quando está suspenso apenas pela força da gravidade e está em equilíbrio. A fórmula geral da catenária é:
y = a cosh(xa)
Mas para simplificar, vamos considerar apenas o equilíbrio dos cabos.

Passo 3

Como os pesos são iguais e os segmentos de cabo têm o mesmo comprimento, o sistema está simétrico. Isso significa que o ângulo alpha4 de 27^circ é o mesmo em ambos os lados do cabo.

Passo 4

Vamos desenhar um triângulo formado pelo segmento do cabo, a dimensão horizontal dH e a dimensão vertical dV. O ângulo adjacente à horizontal é alpha4.

Passo 5

Sabemos que a tangente de um ângulo em um triângulo retângulo relaciona o lado oposto com o lado adjacente. Então:
tan(alpha4) = dVdH2
Aqui, dividimos dH por 2 porque o triângulo está dividido ao meio devido à simetria.

Passo 6

Vamos rearranjar a equação para encontrar dH:
dH = 2 cdot dVtan(alpha4)

Passo 7

Agora, precisamos encontrar dV. Sabemos que cada peso é de 4 N e que os cabos têm 8 cm. A força vertical deve equilibrar os pesos, então:
2 cdot T cdot sin(alpha4) = 2 cdot 4,N
Aqui, T é a tensão no cabo. Como os cabos são iguais, podemos simplificar:
T cdot sin(alpha4) = 4,N

Passo 8

Vamos calcular a tensão T:
T = 4,Nsin(27^circ)
Calculando sin(27^circ) approx 0,4540:
T approx 40,4540 approx 8,81,N

Passo 9

Agora, a dimensão vertical dV pode ser relacionada ao comprimento do cabo e ao ângulo:
dV = T cdot cos(alpha4) cdot 2
Calculando cos(27^circ) approx 0,8910:
dV approx 8,81,N cdot 0,8910 cdot 2 approx 15,7,cm

Passo 10

Voltando à equação da dimensão horizontal:
dH = 2 cdot 15,7,cmtan(27^circ)
Calculando tan(27^circ) approx 0,5095:
dH approx 2 cdot 15,70,5095 approx 61,5,cm

Resposta

A dimensão horizontal dH é aproximadamente 61,5 cm.

Exercícios relacionados