Um dispositivo para ensaio de tração deve ser construído com capacidade para suportar uma carga máxima de 220.000 N . O projeto pede duas barras de sustentação cilíndricas, cada uma das quais deve suportar metade da carga máxima. Além disso, devem ser usadas barras redondas de aço carbono 1045, lixadas e polidas; o limite de escoamento e o limite de resistência à tração mínimo para essa liga são de 310 MPa e 565 MPa , respectivamente. Especifique um diâmetro apropriado para estas barras de sustentação, levando em conta um fator de segurança N de 5 .

Passo 1

Enunciado e dados importantes que o problema fornece (o que é pedido e o que temos):
  • Carga máxima total: \;220.000\\ \text{N}.
  • Duas barras idênticas, cada uma suporta metade da carga total. Portanto a carga em cada barra: \;F = 110.000\\ \text{N}.
  • Material: aço carbono 1045 (lixado e polido).
  • Limite de escoamento mínimo (yield): \;\sigma_y = 310\\ \text{MPa}.
  • Limite de resistência à tração mínimo (ultimate): \;\sigma_u = 565\\ \text{MPa}.
  • Fator de segurança pedido: \;N = 5.
O que o problema pede: especificar um diâmetro apropriado para cada barra de sustentação, levando em conta o fator de segurança \;N=5.

Passo 2

Escolha do critério de dimensionamento (por que usamos esse caminho)
  • Em projetos de barras que devem suportar carga estática e que podem deformar plasticamente, é usual dimensionar em função do limite de escoamento (yield) com o fator de segurança, para evitar escoamento permanente. Então vamos usar o limite de escoamento \sigma_y dividido pelo fator de segurança para obter a tensão admissível (mais conservador do que usar \sigma_u).
  • Assim definimos a tensão admissível (ou tensão de projeto) como a razão entre o limite de escoamento e o fator de segurança:
\sigma_{\text{adm}} = \frac{\sigma_y}{N}.

Passo 3

Fórmulas fundamentais e significado das variáveis (aula rápida)
  • Tensão normal (média) em uma seção circular sujeita a força axial:
\sigma = \frac{F}{A},
onde \sigma é a tensão média (Pa), F é a força axial (N) e A é a área da seção transversal (m^2).
  • Para uma seção circular de diâmetro d temos a área
A = \frac{\pi d^2}{4}.
  • Para dimensionar escolhemos \sigma = \sigma_{\text{adm}} e isolamos A e depois d:
A = \frac{F}{\sigma_{\text{adm}}},\qquad d = \sqrt{\frac{4A}{\pi}}.
Explicando as unidades: força em newtons (N), tensão em pascal (Pa = N/m^2). Como \sigma_y está em MPa, usaremos \;1\\ \text{MPa}=10^6\\ \text{Pa}.

Passo 4

Calcular a tensão admissível usando o limite de escoamento e o fator de segurança
  • Aplicando a fórmula:
\sigma_{\text{adm}} = \frac{\sigma_y}{N} = \frac{310\\ \text{MPa}}{5} = 62\\ \text{MPa}.
  • Em unidades do SI: \;62\\ \text{MPa} = 62\cdot 10^{6}\\ \text{Pa}.

Passo 5

Calcular a área necessária de cada barra
  • Usando A = F/\sigma_{\text{adm}} com F=110.000\\ \text{N}:
A = \frac{110.000}{62\cdot 10^{6}}\\ \text{m}^2 = 0,001774193548\\ \text{m}^2.
  • Convertendo para \text{mm}^2 (multiplica por 10^{6}):
A \approx 1.774,19\\ \text{mm}^2.

Passo 6

Calcular o diâmetro correspondente à área obtida
  • Aplicando d = \sqrt{\dfrac{4A}{\pi}}. Primeiro em metros:
d = \sqrt{\frac{4\cdot 0,001774193548}{\pi}}\\ \text{m}.
  • Calculando numericamente:
d \approx 0,04753\\ \text{m} = 47,53\\ \text{mm}.

Passo 7

Escolha prática do diâmetro (arredondamento / segurança adicional)
  • O valor calculado é o diâmetro mínimo teórico para que a tensão média não ultrapasse a tensão admissível baseada no escoamento com N=5: \;d_{\min}\approx 47,53\\ \text{mm}.
  • Na prática escolhe-se um diâmetro comercial e arredonda-se para cima para garantir margem e facilitar fabricação. Uma escolha razoável e comum é usar \;d = 50\\ \text{mm}.
  • Observação: se alguém usasse o limite último \sigma_u com o mesmo N (menos conservador), obteria um diâmetro menor (ordem de \;35\\ \text{mm}), mas isso não previne escoamento — por isso usamos \sigma_y.

Passo 8

Resumo final e checagens rápidas
  • Diâmetro mínimo teórico (pela verificação com limite de escoamento e N=5): \;47,53\\ \text{mm}.
  • Recomendação prática: usar barras de \;50\\ \text{mm} de diâmetro (lixadas e polidas, como pedido), que oferecem margem adicional e é um tamanho comercial comum.
  • Parabéns: com essa escolha cada barra terá tensão média segura menor que \;62\\ \text{MPa} e está dimensionada contra escoamento com o fator de segurança pedido.

Resposta

Diâmetro mínimo teórico: 47,53\\ \text{mm}.
Diâmetro recomendado (prático/comercial): 50\\ \text{mm}.

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