Um corpo de prova de alumínio tem diâmetro de d_{0}=25 \mathrm{~mm} e comprimento de referência \mathrm{L}_{0}=250 \mathrm{~mm}. Se uma força de 165 kN provocar um alongamento de 1,2 \mathrm{~mm} no comprimento de referência, determine o módulo de elasticidade. Determine também a contração do diâmetro que a força provoca no corpo de prova.
Considere: \quad \mathrm{G}_{\mathrm{al}}=26 \mathrm{GPa} e \sigma_{\mathrm{LP}}=440 \mathrm{MPa}

Passo 1

O enunciado dá um corpo de prova de alumínio com diâmetro inicial d_{0}=25\:\mathrm{mm} e comprimento de referência L_{0}=250\:\mathrm{mm}. Aplica-se uma força F=165\:\mathrm{kN} que causa um alongamento \Delta L=1{,}2\:\mathrm{mm}. Pede-se (1) o módulo de elasticidade E e (2) a contração do diâmetro provocada por efeito de Poisson. Sabemos também que o módulo de cisalhamento é G=26\:\mathrm{GPa} e que o limite de proporcionalidade \sigma_{\mathrm{LP}}=440\:\mathrm{MPa}, garantindo que estamos na região elástica.

Passo 2

Calcular a tensão longitudinal média \sigma usando
\sigma = \frac{F}{A}
em que a seção transversal é
A = \frac{\pi d_{0}^{2}}{4}\,.
Substituindo d_{0}=25\:\mathrm{mm}=0{,}025\:\mathrm{m} e F=165\:\mathrm{kN}=165\times10^{3}\:\mathrm{N},
A = \frac{\pi\,(0{,}025)^{2}}{4} = 4{,}9087\times10^{-4}\:\mathrm{m}^{2},
\sigma = \frac{165\times10^{3}}{4{,}9087\times10^{-4}} \approx336{,}2\times10^{6}\:\mathrm{Pa}=336{,}2\:\mathrm{MPa}.
Como \sigma<\sigma_{\mathrm{LP}}, o comportamento é elástico linear.

Passo 3

Calcular a deformação longitudinal \varepsilon_{\ell} e daí E:
\varepsilon_{\ell} = \frac{\Delta L}{L_{0}} = \frac{1{,}2}{250} = 0{,}0048,
E = \frac{\sigma}{\varepsilon_{\ell}} = \frac{336{,}2\:\mathrm{MPa}}{0{,}0048} \approx70{,}04\:\mathrm{GPa}.

Passo 4

Determinar a razão de Poisson \nu a partir de E e G pela relação
E = 2\,G\,(1+\nu) \quad\Longrightarrow\quad \nu = \frac{E}{2\,G}-1.
Substituindo E=70{,}04\:\mathrm{GPa} e G=26\:\mathrm{GPa},
\nu = \frac{70{,}04}{2\cdot26}-1 \approx0{,}347.

Passo 5

Calcular a contração lateral (variação de diâmetro). A deformação lateral é
\varepsilon_{\mathrm{lat}} = -\,\nu\,\varepsilon_{\ell} = -\,0{,}347\times0{,}0048 \approx-0{,}001666.
Logo a variação do diâmetro vale
\Delta d = \varepsilon_{\mathrm{lat}}\;d_{0} = -0{,}001666\times25\:\mathrm{mm} \approx -0{,}0417\:\mathrm{mm}.

Resposta

O módulo de elasticidade é
E\approx70{,}04\:\mathrm{GPa},
e o diâmetro se contrai em cerca de
\Delta d\approx-0{,}0417\:\mathrm{mm}.

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