Exemplo 2.11

Um círculo de diâmetro d=230 \mathrm{~mm} é desenhado em uma chapa de alumínio com espessura t=20 \mathrm{~mm}. Forças agindo no plano da chapa causam tensões normais \sigma_{x}=84 \mathrm{MPa} e \sigma_{z}=140 \mathrm{MPa}. Para E=70 \mathrm{GPa} e v=1 / 3, determine as variações que ocorrem:
a) No comprimento do diâmetro A B,
b) No comprimento do diâmetro C D,
c) Na espessura da chapa, e
d) No volume da chapa.

Passo 1

O enunciado descreve uma chapa de alumínio na qual está desenhado um círculo de diâmetro d=230 mm e espessura t=20 mm. No plano da chapa atuam tensões normais \sigma_x=84 MPa e \sigma_z=140 MPa, enquanto que na direção da espessura \sigma_y=0. Com E=70 GPa e \nu=1/3, vamos calcular as variações de comprimento dos diámetros AB (direção x) e CD (direção z), da espessura t (direção y) e do volume da chapa.

Passo 2

Pela lei de Hooke tridimensional, as deformações principais são dadas por
\epsilon_x = \frac{1}{E}\bigl(\sigma_x - \nu(\sigma_y+\sigma_z)\bigr),
\epsilon_z = \frac{1}{E}\bigl(\sigma_z - \nu(\sigma_x+\sigma_y)\bigr),
\epsilon_y = \frac{1}{E}\bigl(\sigma_y - \nu(\sigma_x+\sigma_z)\bigr),
e aqui \sigma_y=0.

Passo 3

Substituindo E=70\times10^3 MPa, \nu=1/3, \sigma_x=84 MPa e \sigma_z=140 MPa, temos
\epsilon_x = \frac{1}{70\,000}\bigl(84 - \tfrac{1}{3}\cdot140\bigr) = \frac{84 - 46{,}6667}{70\,000} = 5{,}333\times10^{-4},
\epsilon_z = \frac{1}{70\,000}\bigl(140 - \tfrac{1}{3}\cdot84\bigr) = \frac{140 - 28}{70\,000} = 1{,}6\times10^{-3},
\epsilon_y = \frac{1}{70\,000}\bigl(0 - \tfrac{1}{3}(84+140)\bigr) = -\frac{224/3}{70\,000} = -1{,}0667\times10^{-3}.

Passo 4

A variação \Delta AB do diâmetro em x e \Delta CD do diâmetro em z são
\Delta AB = \epsilon_x\,d = 5{,}333\times10^{-4}\times230 \approx 0{,}123\\ \mathrm{mm},
\Delta CD = \epsilon_z\,d = 1{,}6\times10^{-3}\times230 \approx 0{,}368\\ \mathrm{mm}.

Passo 5

A variação da espessura é
\Delta t = \epsilon_y\,t = -1{,}0667\times10^{-3}\times20 \approx -0{,}0213\\ \mathrm{mm}.

Passo 6

O volume inicial da parte cilíndrica é
V_0 = \pi\Bigl(\frac{d}{2}\Bigr)^2\,t =\pi\,(115)^2\times20\approx8{,}31\times10^5\\ \mathrm{mm^3}.
Para pequenas deformações, a variação volumétrica é
\Delta V \approx V_0\bigl(\epsilon_x + \epsilon_y + \epsilon_z\bigr) =8{,}31\times10^5\times(5{,}333-1{,}0667+1{,}6)\times10^{-4} \approx8{,}87\times10^2\\ \mathrm{mm^3}.

Resposta

a) \Delta AB\approx0{,}123\\ \mathrm{mm}
b) \Delta CD\approx0{,}368\\ \mathrm{mm}
c) \Delta t\approx-0{,}0213\\ \mathrm{mm}
d) \Delta V\approx8,87\times10^2\\ \mathrm{mm^3}

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