Um corpo de prova cilíndrico de aço tendo um diâmetro de 15,2 mm ( 0,60 in ) e um comprimento de 250 mm ( 10,0 in ) é deformado elasticamente em tração com uma força de 48.900 N(11.000 lbf). Considerando os dados da Tabela 6.1, determine o seguinte:
A variação no diâmetro do corpo de prova. O diâmetro irá aumentar ou diminuir?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos um cilindro de aço com diâmetro de 15,2 mm e comprimento de 250 mm. Ele está sendo puxado com uma força de 48.900 N. Nosso objetivo é descobrir quanto o diâmetro desse cilindro vai mudar quando essa força for aplicada e se ele vai aumentar ou diminuir. Vamos precisar usar conceitos de deformação em materiais e módulo de Poisson para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. Quando você puxa um material, ele se alonga no sentido da força aplicada, mas também pode se contrair ou expandir nas direções perpendiculares a essa força. Essa relação entre a deformação longitudinal e lateral é governada pelo módulo de Poisson (ν).

Passo 3

Vamos identificar os dados que temos:
  • Diâmetro inicial, $ D_0 = 15,2 , mm $
  • Comprimento inicial, $ L_0 = 250 , mm $
  • Força aplicada, $ F = 48.900 , N $
  • Área da seção transversal, $ A = \frac{\pi D_0^2}{4} $
  • Módulo de Young para o aço (da Tabela 6.1), geralmente $ E = 210 , GPa $
  • Módulo de Poisson para o aço (da Tabela 6.1), geralmente $ \nu = 0,3 $

Passo 4

Primeiro, precisamos calcular a tensão axial ($ \sigma $) no cilindro, que é a força dividida pela área da seção transversal:
sigma
Vamos calcular a área:
sigma = FA = Fpi D0^24
Agora, a tensão:
A = pi (15,2 , mm)^24 approx 3,1416 times 231,044 approx 181,46 , mm^2

Passo 5

Agora, usando a Lei de Hooke para deformação axial, podemos encontrar a deformação no comprimento ($ \epsilon $):
epsilon
Isso significa que o cilindro se alonga 0,128% do seu comprimento original.

Passo 6

Mas nosso foco é a variação no diâmetro. Para isso, usamos o módulo de Poisson:
epsilonlateral = -nu cdot epsilon
O sinal negativo indica que a deformação lateral é oposta à axial. Como estamos puxando (alongando), o diâmetro vai diminuir.
epsilonlateral = -0,3 times 0,00128 approx -0,000384

Passo 7

Agora, calculamos a variação no diâmetro ($ \Delta D $) usando a deformação lateral:
De

Resposta

A variação no diâmetro do corpo de prova é de aproximadamente -0,0058 mm, ou seja, o diâmetro diminui quando a força de tração é aplicada.

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