Um corpo de prova cilíndrico de aço tendo um diâmetro de
(
) e um comprimento de 250 mm (
) é deformado elasticamente em tração com uma força de
. Considerando os dados da Tabela 6.1, determine o seguinte:
A variação no diâmetro do corpo de prova. O diâmetro irá aumentar ou diminuir?
A variação no diâmetro do corpo de prova. O diâmetro irá aumentar ou diminuir?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos um cilindro de aço com diâmetro de 15,2 mm e comprimento de 250 mm. Ele está sendo puxado com uma força de 48.900 N. Nosso objetivo é descobrir quanto o diâmetro desse cilindro vai mudar quando essa força for aplicada e se ele vai aumentar ou diminuir. Vamos precisar usar conceitos de deformação em materiais e módulo de Poisson para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. Quando você puxa um material, ele se alonga no sentido da força aplicada, mas também pode se contrair ou expandir nas direções perpendiculares a essa força. Essa relação entre a deformação longitudinal e lateral é governada pelo módulo de Poisson (ν).
Passo 3
Vamos identificar os dados que temos:
- Diâmetro inicial, $ D_0 = 15,2 , mm $
- Comprimento inicial, $ L_0 = 250 , mm $
- Força aplicada, $ F = 48.900 , N $
- Área da seção transversal, $ A = \frac{\pi D_0^2}{4} $
- Módulo de Young para o aço (da Tabela 6.1), geralmente $ E = 210 , GPa $
- Módulo de Poisson para o aço (da Tabela 6.1), geralmente $ \nu = 0,3 $
Passo 4
Primeiro, precisamos calcular a tensão axial ($ \sigma $) no cilindro, que é a força dividida pela área da seção transversal:
Vamos calcular a área:
Agora, a tensão:
Passo 5
Agora, usando a Lei de Hooke para deformação axial, podemos encontrar a deformação no comprimento ($ \epsilon $):
Isso significa que o cilindro se alonga 0,128% do seu comprimento original.
Passo 6
Mas nosso foco é a variação no diâmetro. Para isso, usamos o módulo de Poisson:
O sinal negativo indica que a deformação lateral é oposta à axial. Como estamos puxando (alongando), o diâmetro vai diminuir.
Passo 7
Agora, calculamos a variação no diâmetro ($ \Delta D $) usando a deformação lateral:
Resposta
A variação no diâmetro do corpo de prova é de aproximadamente -0,0058 mm, ou seja, o diâmetro diminui quando a força de tração é aplicada.