Uma cerâmica avançada tem modulo de Weibull m igual a 10. Para um nível de tensão de 300 MPa a probabilidade de falha é
. Qual é a tensão permitida para uma probabilidade de falha igual a 0,0001?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado fala sobre materiais cerâmicos avançados e usa o módulo de Weibull, que é uma medida de confiabilidade que nos ajuda a entender como a probabilidade de falha de um material varia com a tensão aplicada. Aqui, vamos precisar da distribuição de Weibull e algumas fórmulas matemáticas para encontrar a tensão permitida para uma probabilidade de falha bem baixa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a distribuição de Weibull. Ela é usada para modelar a resistência de materiais e é definida pela função de distribuição acumulada:
Aqui, $ F(\sigma) $ é a probabilidade de falha, $ \sigma $ é a tensão aplicada, $ \sigma_0 $ é a tensão característica, e $ m $ é o módulo de Weibull.
Passo 3
Sabemos que quando a tensão $ \sigma = 300 $ MPa, a probabilidade de falha $ F = 0,25 $. Vamos usar essa informação para encontrar $ \sigma_0 $.
Substituindo os valores na fórmula:
Passo 4
Vamos isolar o termo exponencial:
Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para $ \sigma_0 $:
Passo 5
Resolvendo para $ (300/\sigma_0)^{10} $:
Calculando $ -\ln(0,75) $:
Então:
Passo 6
Para encontrar $ \sigma_0 $, tiramos a raiz décima de ambos os lados:
Calculando $ (0,28768207)^{1/10} $:
Então:
Passo 7
Agora, resolvemos para $ \sigma_0 $:
Passo 8
Agora que temos $ \sigma_0 $, podemos encontrar a tensão permitida para uma probabilidade de falha $ F = 0,0001 $.
Usamos a fórmula de Weibull novamente:
Passo 9
Isolando o termo exponencial:
Aplicamos o logaritmo natural:
Passo 10
Resolvendo para $ (\sigma/\sigma_0)^{10} $:
Calculando $ -\ln(0,9999) $:
Então:
Passo 11
Tiramos a décima raiz de ambos os lados para encontrar $ \sigma/\sigma_0 $:
Calculando $ (0,000100005)^{0,1} $:
Passo 12
Finalmente, resolvemos para $ \sigma $:
Resposta
A tensão permitida para uma probabilidade de falha igual a 0,0001 é aproximadamente 150 MPa.