Uma cerâmica avançada tem modulo de Weibull m igual a 10. Para um nível de tensão de 300 MPa a probabilidade de falha é F=0,25. Qual é a tensão permitida para uma probabilidade de falha igual a 0,0001?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado fala sobre materiais cerâmicos avançados e usa o módulo de Weibull, que é uma medida de confiabilidade que nos ajuda a entender como a probabilidade de falha de um material varia com a tensão aplicada. Aqui, vamos precisar da distribuição de Weibull e algumas fórmulas matemáticas para encontrar a tensão permitida para uma probabilidade de falha bem baixa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição de Weibull. Ela é usada para modelar a resistência de materiais e é definida pela função de distribuição acumulada:
F(sigma) = 1 - e^-(sigma/sigma0)^m
Aqui, $ F(\sigma) $ é a probabilidade de falha, $ \sigma $ é a tensão aplicada, $ \sigma_0 $ é a tensão característica, e $ m $ é o módulo de Weibull.

Passo 3

Sabemos que quando a tensão $ \sigma = 300 $ MPa, a probabilidade de falha $ F = 0,25 $. Vamos usar essa informação para encontrar $ \sigma_0 $.
Substituindo os valores na fórmula:
sigma = 300

Passo 4

Vamos isolar o termo exponencial:
e^-(300/sigma0)^10 = 1 - 0,25 = 0,75
Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para $ \sigma_0 $:
sigma0

Passo 5

Resolvendo para $ (300/\sigma_0)^{10} $:
(300/sigma0)^10
Calculando $ -\ln(0,75) $:
(300/sigma0)^10 = -ln(0,75)
Então:
-ln(0,75)

Passo 6

Para encontrar $ \sigma_0 $, tiramos a raiz décima de ambos os lados:
sigma0
Calculando $ (0,28768207)^{1/10} $:
300/sigma0 approx (0,28768207)^1/10
Então:
(0,28768207)^1/10

Passo 7

Agora, resolvemos para $ \sigma_0 $:
sigma0

Passo 8

Agora que temos $ \sigma_0 $, podemos encontrar a tensão permitida para uma probabilidade de falha $ F = 0,0001 $.
Usamos a fórmula de Weibull novamente:
sigma0

Passo 9

Isolando o termo exponencial:
e^-(sigma/sigma0)^10 = 1 - 0,0001 = 0,9999
Aplicamos o logaritmo natural:
-(sigma/sigma0)^10 = ln(0,9999)

Passo 10

Resolvendo para $ (\sigma/\sigma_0)^{10} $:
(sigma/sigma0)^10
Calculando $ -\ln(0,9999) $:
(sigma/sigma0)^10 = -ln(0,9999)
Então:
-ln(0,9999)

Passo 11

Tiramos a décima raiz de ambos os lados para encontrar $ \sigma/\sigma_0 $:
sigma/sigma0
Calculando $ (0,000100005)^{0,1} $:
sigma/sigma0 approx (0,000100005)^1/10

Passo 12

Finalmente, resolvemos para $ \sigma $:
sigma

Resposta

A tensão permitida para uma probabilidade de falha igual a 0,0001 é aproximadamente 150 MPa.

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