Um corpo de prova cilíndrico de cobre trabalhado a frio possui uma ductilidade (%AL) de 15%. Se o raio após o trabalho a frio é de
6,4 \mathrm{~mm}
, qual era a o raio antes da deformação?

Passo 1

O enunciado fornece:
  • A ductilidade (percentual de alongamento) do corpo é 15\%.
  • O raio após a deformação (final) é 6,4\\ \mathrm{mm}.
O que se pede:
  • Determinar o raio antes da deformação (raio inicial).

Passo 2

Entendendo o que significa a ductilidade dada: a ductilidade aqui é o percentual de alongamento (%AL), que mede quanto o comprimento final aumentou em relação ao inicial. Se denotarmos o comprimento inicial por L_0 e o comprimento final por L_f, o percentual de alongamento e_{\%} é
e_{\%}=\frac{L_f-L_0}{L_0}\times100\%.
Logo, em forma decimal o alongamento é e=\dfrac{e_{\%}}{100}. Para e_{\%}=15\% temos
e=0,15\quad\text{e}\quad L_f=L_0(1+e)=1,15\,L_0.

Passo 3

Para uma deformação plástica a frio do metal assumimos conservação de volume (aproximação usual: metal praticamente incompressível durante a deformação plástica). Assim a área da secção transversal A e o comprimento L satisfazem
A_0L_0=A_fL_f,
onde os índices 0 e f indicam inicial e final. Reescrevendo,
A_0 = A_f\frac{L_f}{L_0}=A_f(1+e).

Passo 4

Relacionando área com raio: para seção circular vale A=\pi r^2. Então
\pi r_0^2 = \pi r_f^2(1+e).
Cancelando \pi e isolando r_0 obtemos
r_0 = r_f\sqrt{1+e}.
Agora substituímos r_f=6,4\\ \mathrm{mm} e e=0,15:
r_0 = 6,4\sqrt{1,15}.
Calculando \sqrt{1,15}\approx1,0723805, portanto
r_0 \approx 6,4\times1,0723805\approx6,86\\ \mathrm{mm}.

Passo 5

Resumo rápido e observação prática: o raio inicial é maior porque o corpo foi alongado (comprimento aumentou), reduzindo a seção. A suposição de conservação de volume é a hipótese padrão para deformação plástica a frio de metais e foi usada para relacionar comprimento e área.

Resposta

6,86\\ \mathrm{mm}

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