Os seguintes dados de limite de escoamento, diâmetro de grão e tempo de tratamento térmico (para o crescimento de grão) foram coletados para uma amostra de ferro que foi tratada termicamente a 800^{\circ} \mathrm{C}. Usando esses dados, calcule o limite de escoamento de uma amostra que foi aquecida a 800^{\circ} \mathrm{C} durante três horas. Considere um valor de 2 para n, o expoente para o diâmetro do grão.
Diâmetro de Grão (mm) Limite de escoamento (MPa) Tempo de tratamento térmico (h)
0,028 300 10
0,010 385 1

Passo 1

O enunciado dá dois conjuntos de dados medidos para amostras tratadas a 800^\circ\mathrm{C}:
  • Para t=10\\ \mathrm{h}: diâmetro de grão d_1=0,028\\ \mathrm{mm} e limite de escoamento \sigma_1=300\\ \mathrm{MPa}.
  • Para t=1\\ \mathrm{h}: diâmetro de grão d_2=0,010\\ \mathrm{mm} e limite de escoamento \sigma_2=385\\ \mathrm{MPa}.
O que se pede: calcular o limite de escoamento \sigma de uma amostra aquecida a 800^\circ\mathrm{C} durante t=3\\ \mathrm{h}, considerando n=2 (expoente para o diâmetro do grão).

Passo 2

Primeiro vamos modelar o crescimento de grão com a lei de crescimento polinomial (forma linear em d^n). A forma geral que usaremos é
d^{n} = K\,t + C,
onde:
  • d é o diâmetro de grão (em \mathrm{mm}),
  • t é o tempo de tratamento térmico (em \mathrm{h}),
  • K e C são constantes a determinar (dependem da temperatura),
  • n é o expoente dado ( n=2 neste problema).
Com n=2 a relação fica
d^{2}=K\,t+C.
Usaremos as duas medições para determinar K e C.

Passo 3

Calcular d_1^{2} e d_2^{2}:
d_1^{2} = (0,028)^{2} = 0,000784\\ \mathrm{mm^{2}},
d_2^{2} = (0,010)^{2} = 0,000100\\ \mathrm{mm^{2}}.
Escrevendo as duas equações:
0,000784 = K\cdot 10 + C,
0,000100 = K\cdot 1 + C.
Subtraindo a segunda da primeira para eliminar C:
0,000784 - 0,000100 = K(10-1) \implies 0,000684 = 9K.
Logo
K = \frac{0,000684}{9} = 0,000076\\ \mathrm{mm^{2}/h}.
Agora C:
C = 0,000100 - K = 0,000100 - 0,000076 = 0,000024\\ \mathrm{mm^{2}}.

Passo 4

Calcular o diâmetro de grão d para t=3\\ \mathrm{h} usando d^{2}=K t + C:
d^{2} = 0,000076\cdot 3 + 0,000024 = 0,000228 + 0,000024 = 0,000252\\ \mathrm{mm^{2}}.
Tomando raiz quadrada,
d = \sqrt{0,000252} \approx 0,0158745\\ \mathrm{mm}.

Passo 5

Agora relacionamos diâmetro de grão com limite de escoamento usando uma forma de Hall–Petch (lei empírica frequentemente usada):
\sigma_{y} = \sigma_{0} + k\,d^{-1/2},
onde:
  • \sigma_{y} é o limite de escoamento (em \mathrm{MPa}),
  • \sigma_{0} é uma constante (MPa),
  • k é a constante de Hall–Petch (unidade: \mathrm{MPa\cdot mm^{1/2}}),
  • d é o diâmetro de grão em \mathrm{mm},
  • d^{-1/2} = 1/\sqrt{d}.
Usaremos os dois pares (d_1,\sigma_1) e (d_2,\sigma_2) para determinar \sigma_{0} e k.

Passo 6

Calcular d^{-1/2} para as duas medições:
d_1^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{0,028}} \approx 5,977,
d_2^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{0,010}} = 10,0.
As duas equações de Hall–Petch são
300 = \sigma_{0} + k\cdot 5,977,
385 = \sigma_{0} + k\cdot 10,0.
Subtraindo a primeira da segunda:
85 = k(10,0 - 5,977) = k\cdot 4,023.
Logo
k = \frac{85}{4,023} \approx 21,11\\ \mathrm{MPa\cdot mm^{1/2}}.
Agora \sigma_{0}:
\sigma_{0} = 300 - k\cdot 5,977 \approx 300 - 21,11\cdot 5,977 \approx 173,83\\ \mathrm{MPa}.

Passo 7

Calcular o limite de escoamento para d em t=3\\ \mathrm{h}. Primeiro d^{-1/2} para d\approx 0,0158745\\ \mathrm{mm}:
d^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{0,0158745}} \approx 7,9367.
Aplicando Hall–Petch:
\sigma_{y} = \sigma_{0} + k\,d^{-1/2} \approx 173,83 + 21,11\cdot 7,9367 \approx 173,83 + 167,56 \approx 341,39\\ \mathrm{MPa}.
Arredondando de forma razoável (duas casas significativas apropriadas no contexto experimental), obtemos \sigma_{y}\approx 341,4\\ \mathrm{MPa}.

Resposta

\sigma_{y}\approx 341,4\\ \mathrm{MPa}

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