Os seguintes dados de limite de escoamento, diâmetro de grão e tempo de tratamento térmico (para o crescimento de grão) foram coletados para uma amostra de ferro que foi tratada termicamente a
. Usando esses dados, calcule o limite de escoamento de uma amostra que foi aquecida a
durante três horas. Considere um valor de 2 para
, o expoente para o diâmetro do grão.
Diâmetro de Grão (mm)
Limite de escoamento (MPa)
Tempo de tratamento térmico (h)
0,028
300
10
0,010
385
1
| Diâmetro de Grão (mm) | Limite de escoamento (MPa) | Tempo de tratamento térmico (h) |
| 0,028 | 300 | 10 |
| 0,010 | 385 | 1 |
Passo 1
O enunciado dá dois conjuntos de dados medidos para amostras tratadas a
:
- Para
: diâmetro de grão e limite de escoamento . - Para
: diâmetro de grão e limite de escoamento .
O que se pede: calcular o limite de escoamento
de uma amostra aquecida a
durante
, considerando
(expoente para o diâmetro do grão).
Passo 2
Primeiro vamos modelar o crescimento de grão com a lei de crescimento polinomial (forma linear em
). A forma geral que usaremos é
onde:
-
é o diâmetro de grão (em ), -
é o tempo de tratamento térmico (em ), -
e são constantes a determinar (dependem da temperatura), -
é o expoente dado ( neste problema).
Com
a relação fica
Usaremos as duas medições para determinar
e
.
Passo 3
Calcular
e
:
Escrevendo as duas equações:
Subtraindo a segunda da primeira para eliminar
:
Logo
Agora
:
Passo 4
Calcular o diâmetro de grão
para
usando
:
Tomando raiz quadrada,
Passo 5
Agora relacionamos diâmetro de grão com limite de escoamento usando uma forma de Hall–Petch (lei empírica frequentemente usada):
onde:
-
é o limite de escoamento (em ), -
é uma constante (MPa), -
é a constante de Hall–Petch (unidade: ), -
é o diâmetro de grão em , -
.
Usaremos os dois pares
e
para determinar
e
.
Passo 6
Calcular
para as duas medições:
As duas equações de Hall–Petch são
Subtraindo a primeira da segunda:
Logo
Agora
:
Passo 7
Calcular o limite de escoamento para
em
. Primeiro
para
:
Aplicando Hall–Petch:
Arredondando de forma razoável (duas casas significativas apropriadas no contexto experimental), obtemos
.