Uma liga metálica hipotética possui um diâmetro de grão de
1,7 \times 10^{-2} \mathrm{~mm}
. Após um tratamento térmico a
450^{\circ} \mathrm{C}
durante 250 minutos, o diâmetro de grão aumentou para
4,5 \times 10^{-2} \mathrm{~mm}
. Calcule o tempo exigido para que uma amostra desse mesmo material (isto é,
\mathrm{d}_{0}=1,7 \times 10^{-2} \mathrm{~mm}
) atinja um diâmetro de grão de 8,7 X
10^{-2} \mathrm{~mm}
ao ser aquecida a
450^{\circ} \mathrm{C}
. Considere que o expoente para o diâmetro de grão n possui um valor de 2,1.
1,7 \times 10^{-2} \mathrm{~mm}
. Após um tratamento térmico a
450^{\circ} \mathrm{C}
durante 250 minutos, o diâmetro de grão aumentou para
4,5 \times 10^{-2} \mathrm{~mm}
. Calcule o tempo exigido para que uma amostra desse mesmo material (isto é,
\mathrm{d}_{0}=1,7 \times 10^{-2} \mathrm{~mm}
) atinja um diâmetro de grão de 8,7 X
10^{-2} \mathrm{~mm}
ao ser aquecida a
450^{\circ} \mathrm{C}
. Considere que o expoente para o diâmetro de grão n possui um valor de 2,1.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei estes números do enunciado).
- Diâmetro inicial:
. - Após
minutos a o diâmetro ficou: . - Expoente do crescimento:
. - Pergunta: qual o tempo necessário, à mesma temperatura
, para que a amostra com atinja ?
Passo 2
Modelo físico-matemático que vamos usar (lei usual para crescimento de grãos por tempo em temperatura constante):
onde:
-
é o diâmetro de grão no tempo (em ); -
é o diâmetro inicial (em ); -
é o expoente empírico adimensional (aqui ); -
é a constante de velocidade do crescimento, em unidades de (porque usaremos tempo em minutos); -
é o tempo (em minutos).
Explicação curta: essa fórmula diz que a diferença entre o diâmetro elevado a
no instante
e o diâmetro inicial elevado a
cresce linearmente no tempo com coeficiente
. Como a temperatura é a mesma,
é constante entre os dois experimentos.
Estratégia prática:
- Usar os dados
para calcular pela relação
- Usar esse
para achar o tempo necessário para atingir via
Passo 3
Calcular
. Vou decompor a potência para facilitar a conta sem depender de funções complicadas:
Calculemos as partes:
Passo 4
Ainda para
, calcular a parte
. Uma forma prática é usar logaritmos (explicando rápido:
):
Numericamente,
, logo
Multiplicando por
e exponenciando:
Portanto
Passo 5
Calcular
com o mesmo procedimento:
Para a parte
:
Passo 6
Agora calculamos
usando
:
Passo 7
Calcular
para
:
Passo 8
Agora usar a fórmula para
:
Numerador:
Dividindo:
Passo 9
Converter
em horas e minutos:
ou seja aproximadamente
horas e
minutos, isto é
h
min (aproximadamente).
Pequeno incentivo: deu trabalho mas a lógica é direta — primeiro acha-se
com o experimento conhecido e depois usa-se
para prever o tempo para qualquer diâmetro à mesma temperatura. Você consegue fazer isso na prova!