Uma liga metálica hipotética possui um diâmetro de grão de
1,7 \times 10^{-2} \mathrm{~mm}
. Após um tratamento térmico a
450^{\circ} \mathrm{C}
durante 250 minutos, o diâmetro de grão aumentou para
4,5 \times 10^{-2} \mathrm{~mm}
. Calcule o tempo exigido para que uma amostra desse mesmo material (isto é,
\mathrm{d}_{0}=1,7 \times 10^{-2} \mathrm{~mm}
) atinja um diâmetro de grão de 8,7 X
10^{-2} \mathrm{~mm}
ao ser aquecida a
450^{\circ} \mathrm{C}
. Considere que o expoente para o diâmetro de grão n possui um valor de 2,1.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei estes números do enunciado).
  • Diâmetro inicial: \,d_{0}=1,7\times10^{-2}\\ \mathrm{mm}.
  • Após 250 minutos a 450^\circ\mathrm{C} o diâmetro ficou: \,d_{1}=4,5\times10^{-2}\\ \mathrm{mm}.
  • Expoente do crescimento: \,n=2,1.
  • Pergunta: qual o tempo necessário, à mesma temperatura 450^\circ\mathrm{C}, para que a amostra com \,d_{0}=1,7\times10^{-2}\\ \mathrm{mm} atinja \,d_{2}=8,7\times10^{-2}\\ \mathrm{mm}?

Passo 2

Modelo físico-matemático que vamos usar (lei usual para crescimento de grãos por tempo em temperatura constante):
d^{\,n}-d_{0}^{\,n}=k\,t,
onde:
  • \,d é o diâmetro de grão no tempo t (em \mathrm{mm});
  • \,d_{0} é o diâmetro inicial (em \mathrm{mm});
  • \,n é o expoente empírico adimensional (aqui 2,1);
  • \,k é a constante de velocidade do crescimento, em unidades de \mathrm{mm}^{\,n}\,\mathrm{min}^{-1} (porque usaremos tempo em minutos);
  • \,t é o tempo (em minutos).
Explicação curta: essa fórmula diz que a diferença entre o diâmetro elevado a n no instante t e o diâmetro inicial elevado a n cresce linearmente no tempo com coeficiente k. Como a temperatura é a mesma, k é constante entre os dois experimentos.
Estratégia prática:
  1. Usar os dados \,d_{0},\,d_{1},\,t_{1}=250\\ \mathrm{min} para calcular \,k pela relação
k=\frac{d_{1}^{\,n}-d_{0}^{\,n}}{t_{1}}.
  1. Usar esse k para achar o tempo t_{2} necessário para atingir d_{2} via
t_{2}=\frac{d_{2}^{\,n}-d_{0}^{\,n}}{k}.

Passo 3

Calcular d_{0}^{\,n}. Vou decompor a potência para facilitar a conta sem depender de funções complicadas:
d_{0}^{\,n}=(1,7\times10^{-2})^{2,1}=(1,7\times10^{-2})^{2}\cdot(1,7\times10^{-2})^{0,1}.
Calculemos as partes:
(1,7\times10^{-2})^{2}=1,7^{2}\times10^{-4}=2,89\times10^{-4}=0,000289.

Passo 4

Ainda para d_{0}^{\,n}, calcular a parte (1,7\times10^{-2})^{0,1}. Uma forma prática é usar logaritmos (explicando rápido: x^{0,1}=e^{0,1\ln x}):
\ln(1,7\times10^{-2})=\ln(1,7)-\ln(100)=\ln(1,7)-4,605170\ldots
Numericamente, \ln(1,7)\approx0,530628, logo
\ln(1,7\times10^{-2})\approx0,530628-4,605170=-4,074542.
Multiplicando por 0,1 e exponenciando:
(1,7\times10^{-2})^{0,1}=e^{0,1\ln(1,7\times10^{-2})}\approx e^{-0,407454}\approx0,6654.
Portanto
d_{0}^{\,n}\approx0,000289\times0,6654\approx0,0001923.

Passo 5

Calcular d_{1}^{\,n} com o mesmo procedimento:
d_{1}^{\,n}=(4,5\times10^{-2})^{2,1}=(4,5\times10^{-2})^{2}\cdot(4,5\times10^{-2})^{0,1}.
(4,5\times10^{-2})^{2}=4,5^{2}\times10^{-4}=20,25\times10^{-4}=0,002025.
Para a parte 0{,}1:
\ln(4,5\times10^{-2})=\ln(4,5)-\ln(100)=\ln(4,5)-4,605170\approx1,504077-4,605170=-3,101093.
(4,5\times10^{-2})^{0,1}\approx e^{0,1\cdot(-3,101093)}=e^{-0,3101093}\approx0,7334.
d_{1}^{\,n}\approx0,002025\times0,7334\approx0,001485.

Passo 6

Agora calculamos k usando t_{1}=250\\ \mathrm{min}:
k=\frac{d_{1}^{\,n}-d_{0}^{\,n}}{t_{1}}\approx\frac{0,001485-0,0001923}{250}.
k\approx\frac{0,0012927}{250}\approx5,1708\times10^{-6}\\ \mathrm{mm}^{\,n}\,\mathrm{min}^{-1}.

Passo 7

Calcular d_{2}^{\,n} para \,d_{2}=8,7\times10^{-2}\\ \mathrm{mm}:
d_{2}^{\,n}=(8,7\times10^{-2})^{2,1}=(8,7\times10^{-2})^{2}\cdot(8,7\times10^{-2})^{0,1}.
(8,7\times10^{-2})^{2}=8,7^{2}\times10^{-4}=75,69\times10^{-4}=0,007569.
\ln(8,7\times10^{-2})=\ln(8,7)-\ln(100)\approx2,163323-4,605170=-2,441847.
(8,7\times10^{-2})^{0,1}\approx e^{0,1\cdot(-2,441847)}=e^{-0,2441847}\approx0,7835.
d_{2}^{\,n}\approx0,007569\times0,7835\approx0,005933.

Passo 8

Agora usar a fórmula para t_{2}:
t_{2}=\frac{d_{2}^{\,n}-d_{0}^{\,n}}{k}\approx\frac{0,005933-0,0001923}{5,1708\times10^{-6}}.
Numerador:
0,005933-0,0001923=0,0057407.
Dividindo:
t_{2}\approx\frac{0,0057407}{5,1708\times10^{-6}}\approx1{,}110{,}2\\ \mathrm{min}.

Passo 9

Converter t_{2} em horas e minutos:
1{,}110{,}2\\ \mathrm{min}=\frac{1{,}110{,}2}{60}\\ \mathrm{h}\approx18{,}503\\ \mathrm{h},
ou seja aproximadamente 18 horas e 0{,}503\times60\approx30 minutos, isto é 18 h 30 min (aproximadamente).
Pequeno incentivo: deu trabalho mas a lógica é direta — primeiro acha-se k com o experimento conhecido e depois usa-se k para prever o tempo para qualquer diâmetro à mesma temperatura. Você consegue fazer isso na prova!

Resposta

t\approx1{,}110{,}2\\ \mathrm{min}
t\approx18\\ \mathrm{h}\\\ 30\\ \mathrm{min}

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