Um corpo de prova para ensaio de tração, tendo um diâmetro inicial de 11,29 \mathrm{~mm} e um comprimento padrão de 50,0 \mathrm{~mm}, foi ensaiado até a ruptura, conforme tabela abaixo. Determine:
Módulo de Young E
SL (mm) SD (mm)(-) Ft (KN)
0 0 0
0,05 0,0035 18,2
0,1 0,007 36,4
0,15 0,0105 39,4
0,2 0,014 40,2
0,25 0,018 41,5
0,5 0,032 41,4
1 0,063 41,6
1,5 0,12 41,5
2 0,18 45
3 0,3 48,3
4 0,401 49,7
5 0,56 50,1
6 0,677 50,4
7 0,79 50,2
8 0,903 48,3
9 1,001 47,2
Ruptura 46,4

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Diâmetro inicial: d_0 = 11,29\\ \mathrm{mm}.
    • Comprimento padrão (comprimento inicial da região de prova): L_0 = 50,0\\ \mathrm{mm}.
    • Tabela com pares de alongamento axial (coluna “SL”, em \mathrm{mm}) e força aplicada (coluna “Ft”, em \mathrm{kN}). (Os valores iniciais da tabela serão usados para identificar a região elástica.)
  • O que se pede:
    • Determinar o módulo de Young E do material do corpo de prova.
Observação importante: para calcular E usa-se a relação linear de Hooke na região elástica inicial:
\sigma = E\,\varepsilon,
onde \sigma é a tensão (stress) e \varepsilon é a deformação (strain). Para isso é preciso calcular a tensão como força dividida pela área inicial e a deformação como alongamento dividido pelo comprimento inicial.

Passo 2

Fórmulas e definições que vamos usar (explicadas devagar).
  • Área da seção circular inicial:
A_0 = \frac{\pi d_0^2}{4},
onde d_0 é o diâmetro inicial. Essa fórmula vem da área do círculo A=\pi r^2 com r=d_0/2.
  • Tensão (engenharia):
\sigma = \frac{F}{A_0},
onde F é a força aplicada em newtons ( \mathrm{N}). No enunciado F está em \mathrm{kN}, então convertendo usa-se 1\\ \mathrm{kN}=1000\\ \mathrm{N}.
  • Deformação (engenharia, axial):
\varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0},
onde \Delta L é o alongamento medido (coluna “SL”) e L_0 é o comprimento inicial (aqui 50,0\\ \mathrm{mm}). Essa é a definição básica de strain: variação relativa de comprimento.
  • Módulo de Young E na região elástica linear é a inclinação da curva tensão versus deformação:
E = \frac{\Delta\sigma}{\Delta\varepsilon}.
Na prática escolhe-se pontos na parte inicial e linear da curva (região elástica) e calcula-se essa razão.
Por que escolher os primeiros pontos? Porque Hooke vale apenas enquanto o material se comporta linearmente (pré-limiar de escoamento). Observando a tabela, os dois primeiros pontos não-nulos ( \Delta L=0{,}05\\ \mathrm{mm} e \Delta L=0{,}10\\ \mathrm{mm}) apresentam força praticamente proporcional ao alongamento (força dobra quando alongamento dobra), o que indica região elástica linear — portanto é apropriado usá-los para estimar E. Esse é um método simples e seguro em provas práticas.

Passo 3

Calcular a área inicial A_0.
  • Primeiro d_0 em TeX:
d_0 = 11,29\\ \mathrm{mm}.
  • Aplicando a fórmula:
A_0 = \frac{\pi d_0^2}{4}.
  • Substituindo numericamente:
d_0^2 = 11,29^2 = 127,4641\quad(\mathrm{mm}^2),
A_0 = 0{,}7853981634 \times 127,4641 \approx 100{,}11\\ \mathrm{mm}^2.
Portanto
A_0 \approx 100{,}11\\ \mathrm{mm}^2.

Passo 4

Calcular deformações \varepsilon (para os primeiros pontos da tabela) — explicando como é feito.
  • Fórmula:
\varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0},\qquad L_0=50{,}0\\ \mathrm{mm}.
  • Para \Delta L=0{,}05\\ \mathrm{mm}:
\varepsilon_1 = \frac{0{,}05}{50{,}0} = 0{,}001.
  • Para \Delta L=0{,}10\\ \mathrm{mm}:
\varepsilon_2 = \frac{0{,}10}{50{,}0} = 0{,}002.
(Se quiser, pode calcular para mais pontos do começo, mas esses dois já definem bem a inclinação linear inicial.)

Passo 5

Calcular tensões \sigma correspondentes (usar F em N e A_0 em \mathrm{mm}^2; resultado em \mathrm{N/mm}^2=\mathrm{MPa}).
  • Conversão de kN para N: 1\\ \mathrm{kN}=1000\\ \mathrm{N}.
  • Para F_1 = 18{,}2\\ \mathrm{kN}:
F_1 = 18{,}2\times 1000 = 18200\\ \mathrm{N},
\sigma_1 = \frac{18200}{100{,}11}\approx 181{,}8\\ \mathrm{MPa}.
  • Para F_2 = 36{,}4\\ \mathrm{kN}:
F_2 = 36{,}4\times 1000 = 36400\\ \mathrm{N},
\sigma_2 = \frac{36400}{100{,}11}\approx 363{,}6\\ \mathrm{MPa}.
Observação: os valores mostram que \sigma_2 é aproximadamente o dobro de \sigma_1, coerente com o dobro da deformação — forte evidência de comportamento linear.

Passo 6

Calcular o módulo de Young E como razão entre incremento de tensão e incremento de deformação usando os dois primeiros pontos não-nulos.
  • Incrementos:
\Delta\sigma = \sigma_2-\sigma_1 \approx 363{,}6 - 181{,}8 = 181{,}8\\ \mathrm{MPa},
\Delta\varepsilon = \varepsilon_2-\varepsilon_1 = 0{,}002 - 0{,}001 = 0{,}001.
  • Logo:
E = \frac{\Delta\sigma}{\Delta\varepsilon} \approx \frac{181{,}8\\ \mathrm{MPa}}{0{,}001} = 181{,}800\\ \mathrm{MPa}.
  • Convertendo para unidades mais usuais:
E \approx 181{,}8\\ \mathrm{GPa}.
Comentário rápido e motivador: o valor fica na faixa típica de aços (entre \sim 190 e \sim 210\\ \mathrm{GPa} dependendo do aço) — aqui obteve-se \approx 181{,}8\\ \mathrm{GPa}, resultado coerente considerando arredondamentos e a simplicidade de usar apenas dois pontos iniciais.

Resposta

E \approx 181{,}8\\ \mathrm{GPa}

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