P14.86 Determine o deslocamento horizontal do nó E. Cada barra de aço A-36 tem área de seção transversal de 300 \mathrm{~mm}^{2}.

Passo 1

O enunciado fornece:
  • Área da seção transversal de cada barra: A = 300\\ \mathrm{mm}^2.
  • Material: aço A-36 (ou seja, há uma referência ao material).
    O que é pedido:
  • Determinar o deslocamento horizontal do nó E.
Informação que falta e que é essencial para resolver o problema:
  • A figura/diagrama da estrutura (truss/quadro) contendo: geometria completa (comprimentos e orientação de cada barra), conectividade (quais barras ligam quais nós), condições de contorno (apoios, articulações) e carregamento (forças, suas direções e magnitudes).
    Sem a figura ou uma descrição equivalente desses dados não há como calcular numericamente o deslocamento de E.

Passo 2

Qual método usar (visão geral e motivo):
  • Para encontrar deslocamentos em treliças (trusses) a maneira mais direta e empregada em provas é o método do trabalho virtual / método da força virtual (virtual work). É prático quando se quer um deslocamento em um ponto/direção específica: aplica-se uma carga unitária virtual na direção do deslocamento pedido e usa-se as forças internas reais e virtuais das barras para obter o deslocamento.
  • Alternativas: método da rigidez (montar matriz de rigidez e resolver) — mais trabalhoso à mão — ou abordagem de compatibilidade com deformações, que é essencialmente equivalente. Vou explicar o método do trabalho virtual porque costuma ser o mais curto e adequado para resolução em prova sem software.

Passo 3

Conceito básico de deformação axial de uma barra:
  • Se uma barra submetida a uma força axial N tem comprimento L, área A e módulo de elasticidade E, a variação de comprimento (deformação axial) é dada por:
\Delta L = \frac{N\,L}{A\,E}.
Explicando cada símbolo:
  • N: força axial na barra (positiva se tração, negativa se compressão) — em unidades de força (N).
  • L: comprimento da barra — em unidades de comprimento (mm).
  • A: área da seção transversal — em \mathrm{mm}^2.
  • E: módulo de elasticidade do material — em \mathrm{N/mm}^2 (note que 1\\ \mathrm{MPa}=1\\ \mathrm{N/mm}^2).
Unidade da fórmula: \dfrac{\mathrm{N}\cdot\mathrm{mm}}{\mathrm{mm}^2\cdot\mathrm{N/mm}^2}=\mathrm{mm}, ou seja, \Delta L em mm.

Passo 4

Fórmula do trabalho virtual para deslocamento em treliça:
  • Para uma treliça composta por barras com o mesmo A e E (ou mesmo com A_i,E_i distintos), o deslocamento escalar \delta no ponto e direção onde se aplica a carga unitária virtual é
\delta=\sum_{i}\frac{N_i\,N_i^*\,L_i}{A_i\,E_i},
onde:
  • N_i é a força axial real na barra i devido ao carregamento real.
  • N_i^* é a força axial na barra i quando se aplica uma carga unitária virtual na estrutura no ponto e direção do deslocamento desejado (todas as cargas reais são removidas quando se calcula as forças virtuais).
  • L_i é o comprimento da barra i.
  • A_i e E_i são área e módulo da barra i.
Interpretação: cada termo \dfrac{N_i N_i^* L_i}{A_i E_i} é a contribuição daquela barra para o produto força-deformação virtual real; somando todas as barras obtém-se o deslocamento virtual-real, que é o deslocamento procurado.

Passo 5

Como encontrar N_i (forças reais) e N_i^* (forças virtuais)
  • Para obter N_i (estado real): usar equilíbrio estático (método dos nós ou seções) com as cargas reais. Em treliças planas, nos nós escrever somatório de forças horizontais e verticais nulas; para seções, usar equações de equilíbrio do corpo livre da parte cortada.
  • Para obter N_i^* (estado virtual): remover todas as cargas reais e aplicar uma carga unitária (força de módulo 1 na direção do deslocamento pedido) no nó E na direção horizontal. Em seguida repetir o processo de análise estática (método dos nós/seções) para obter as forças axiais nas barras devido a essa carga unitária.
  • Observação prática: os sinais de N_i e N_i^* importam; o produto N_i N_i^* pode ser positivo ou negativo, contribuindo com sinal apropriado para \delta.

Passo 6

Valor de E para o aço A-36 e unidades
  • Módulo de elasticidade típico do aço (incluindo A-36) é
E \approx 200\\ \mathrm{GPa} = 200\,000\\ \mathrm{N/mm}^2.
  • Como a área foi dada em \mathrm{mm}^2 e normalmente os comprimentos estarão em mm, usar E em \mathrm{N/mm}^2 garante que o deslocamento saia em mm.

Passo 7

Fórmula prática que será usada na substituição numérica
  • Como todas as barras do enunciado têm A = 300\\ \mathrm{mm}^2 e, assumindo E=200\,000\\ \mathrm{N/mm}^2, a fórmula fica:
\delta = \frac{1}{A\,E}\sum_i N_i N_i^* L_i = \frac{1}{300\cdot 200\,000}\sum_i N_i N_i^* L_i = \frac{1}{60\,000\,000}\sum_i N_i N_i^* L_i,
onde N_i e N_i^* devem estar em N e L_i em mm; o resultado \delta estará em mm.
  • Exemplo ilustrativo (apenas para mostrar cálculo): suponha uma barra i com N_i=10\\ \mathrm{kN}=10\,000\\ \mathrm{N}, N_i^*=2\\ \mathrm{kN}=2\,000\\ \mathrm{N} e L_i=3\,000\\ \mathrm{mm}. A contribuição dessa barra seria
\frac{N_i N_i^* L_i}{A E}=\frac{10\,000\cdot 2\,000\cdot 3\,000}{60\,000\,000}=1\,000\\ \mathrm{mm}.
Isso mostra como colocar números, mas atenção: os valores N_i e N_i^* do exemplo são arbitrários — para o problema real precisam ser calculados da estrutura dada.

Passo 8

Passos práticos que eu (ou você na prova) deve seguir quando tiver a figura:
  1. Identificar a topologia da treliça e medir todos os comprimentos L_i e os cossenos das direções (se necessário) a partir da figura.
  2. Calcular as forças axiais reais N_i com as cargas reais (método dos nós ou seções).
  3. Aplicar uma carga unitária horizontal em E (sentido para o qual se quer o deslocamento) e calcular as forças axiais virtuais N_i^*.
  4. Substituir em \delta=\dfrac{1}{A E}\sum_i N_i N_i^* L_i usando A=300\\ \mathrm{mm}^2 e E=200\,000\\ \mathrm{N/mm}^2.
  5. Interpretar o sinal de \delta: positivo no sentido da carga unitária escolhida.

Passo 9

Observações finais e incentivo
  • Sem a figura/descrição completa da treliça não é possível obter valores numéricos para N_i e N_i^*, logo não dá para calcular numericamente o deslocamento de E.
  • Se você me enviar a figura (ou listar: coordenadas dos nós, quais barras existem entre quais nós, apoios e cargas), eu faço a resolução passo a passo: cálculo das forças, montagem do somatório e obtenção do deslocamento, tudo detalhado para você entender e repetir na prova. Vai dar certo — já ajudei muita gente a fazer isso em prova!

Resposta

Não é possível determinar o deslocamento horizontal do nó E porque a figura/diagrama com a geometria da estrutura, conectividade das barras, apoios e carregamentos não foi fornecida.

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