P14.86 Determine o deslocamento horizontal do nó E. Cada barra de aço A-36 tem área de seção transversal de
.
Passo 1
O enunciado fornece:
- Área da seção transversal de cada barra:
. - Material: aço A-36 (ou seja, há uma referência ao material).
O que é pedido: - Determinar o deslocamento horizontal do nó
.
Informação que falta e que é essencial para resolver o problema:
- A figura/diagrama da estrutura (truss/quadro) contendo: geometria completa (comprimentos e orientação de cada barra), conectividade (quais barras ligam quais nós), condições de contorno (apoios, articulações) e carregamento (forças, suas direções e magnitudes).
Sem a figura ou uma descrição equivalente desses dados não há como calcular numericamente o deslocamento de.
Passo 2
Qual método usar (visão geral e motivo):
- Para encontrar deslocamentos em treliças (trusses) a maneira mais direta e empregada em provas é o método do trabalho virtual / método da força virtual (virtual work). É prático quando se quer um deslocamento em um ponto/direção específica: aplica-se uma carga unitária virtual na direção do deslocamento pedido e usa-se as forças internas reais e virtuais das barras para obter o deslocamento.
- Alternativas: método da rigidez (montar matriz de rigidez e resolver) — mais trabalhoso à mão — ou abordagem de compatibilidade com deformações, que é essencialmente equivalente. Vou explicar o método do trabalho virtual porque costuma ser o mais curto e adequado para resolução em prova sem software.
Passo 3
Conceito básico de deformação axial de uma barra:
- Se uma barra submetida a uma força axial
tem comprimento , área e módulo de elasticidade , a variação de comprimento (deformação axial) é dada por:
Explicando cada símbolo:
-
: força axial na barra (positiva se tração, negativa se compressão) — em unidades de força (N). -
: comprimento da barra — em unidades de comprimento (mm). -
: área da seção transversal — em . -
: módulo de elasticidade do material — em (note que ).
Unidade da fórmula:
, ou seja,
em mm.
Passo 4
Fórmula do trabalho virtual para deslocamento em treliça:
- Para uma treliça composta por barras com o mesmo
e (ou mesmo com distintos), o deslocamento escalar no ponto e direção onde se aplica a carga unitária virtual é
onde:
-
é a força axial real na barra devido ao carregamento real. -
é a força axial na barra quando se aplica uma carga unitária virtual na estrutura no ponto e direção do deslocamento desejado (todas as cargas reais são removidas quando se calcula as forças virtuais). -
é o comprimento da barra . -
e são área e módulo da barra .
Interpretação: cada termo
é a contribuição daquela barra para o produto força-deformação virtual real; somando todas as barras obtém-se o deslocamento virtual-real, que é o deslocamento procurado.
Passo 5
Como encontrar
(forças reais) e
(forças virtuais)
- Para obter
(estado real): usar equilíbrio estático (método dos nós ou seções) com as cargas reais. Em treliças planas, nos nós escrever somatório de forças horizontais e verticais nulas; para seções, usar equações de equilíbrio do corpo livre da parte cortada. - Para obter
(estado virtual): remover todas as cargas reais e aplicar uma carga unitária (força de módulo na direção do deslocamento pedido) no nó na direção horizontal. Em seguida repetir o processo de análise estática (método dos nós/seções) para obter as forças axiais nas barras devido a essa carga unitária. - Observação prática: os sinais de
e importam; o produto pode ser positivo ou negativo, contribuindo com sinal apropriado para .
Passo 6
Valor de
para o aço A-36 e unidades
- Módulo de elasticidade típico do aço (incluindo A-36) é
- Como a área foi dada em
e normalmente os comprimentos estarão em mm, usar em garante que o deslocamento saia em mm.
Passo 7
Fórmula prática que será usada na substituição numérica
- Como todas as barras do enunciado têm
e, assumindo , a fórmula fica:
onde
e
devem estar em N e
em mm; o resultado
estará em mm.
- Exemplo ilustrativo (apenas para mostrar cálculo): suponha uma barra
com , e . A contribuição dessa barra seria
Isso mostra como colocar números, mas atenção: os valores
e
do exemplo são arbitrários — para o problema real precisam ser calculados da estrutura dada.
Passo 8
Passos práticos que eu (ou você na prova) deve seguir quando tiver a figura:
- Identificar a topologia da treliça e medir todos os comprimentos
e os cossenos das direções (se necessário) a partir da figura. - Calcular as forças axiais reais
com as cargas reais (método dos nós ou seções). - Aplicar uma carga unitária horizontal em
(sentido para o qual se quer o deslocamento) e calcular as forças axiais virtuais . - Substituir em
usando e . - Interpretar o sinal de
: positivo no sentido da carga unitária escolhida.
Passo 9
Observações finais e incentivo
- Sem a figura/descrição completa da treliça não é possível obter valores numéricos para
e , logo não dá para calcular numericamente o deslocamento de . - Se você me enviar a figura (ou listar: coordenadas dos nós, quais barras existem entre quais nós, apoios e cargas), eu faço a resolução passo a passo: cálculo das forças, montagem do somatório e obtenção do deslocamento, tudo detalhado para você entender e repetir na prova. Vai dar certo — já ajudei muita gente a fazer isso em prova!
Resposta
Não é possível determinar o deslocamento horizontal do nó
porque a figura/diagrama com a geometria da estrutura, conectividade das barras, apoios e carregamentos não foi fornecida.