Um corpo de prova para ensaio de tração, tendo um diâmetro inicial de 11,29 \mathrm{~mm} e um comprimento padrão de 50,0 \mathrm{~mm}, foi ensaiado até a ruptura, conforme tabela abaixo. Determine:
Coeficiente de Poisson v
SL (mm) SD (mm)(-) Ft (KN)
0 0 0
0,05 0,0035 18,2
0,1 0,007 36,4
0,15 0,0105 39,4
0,2 0,014 40,2
0,25 0,018 41,5
0,5 0,032 41,4
1 0,063 41,6
1,5 0,12 41,5
2 0,18 45
3 0,3 48,3
4 0,401 49,7
5 0,56 50,1
6 0,677 50,4
7 0,79 50,2
8 0,903 48,3
9 1,001 47,2
Ruptura 46,4

Passo 1

O enunciado nos dá um corpo de prova para ensaio de tração com as dimensões iniciais e uma tabela de medidas durante o ensaio. O que ele pede:
  • Determinar o coeficiente de Poisson \nu.
Informações fornecidas (peguei estes valores do enunciado):
  • Diâmetro inicial: d_0 = 11{,}29\\ \text{mm}.
  • Comprimento padrão (comprimento gauge): L_0 = 50{,}0\\ \text{mm}.
  • Tabela com pares de variações medidas: \text{SL} (em mm) — alongamento axial absoluto \Delta L; \text{SD} (em mm) — redução absoluta do diâmetro (o enunciado indica (\text{mm})(-), ou seja, os valores de \text{SD} são magnitudes positivas da redução, logo \Delta d = -\text{SD}).
  • A tabela também contém forças F_t (kN), que não são necessárias diretamente para calcular \nu quando a deformação lateral e axial são medidas.
Resumo das variáveis que vamos usar:
  • \Delta L = \text{SL} (em mm).
  • \text{SD} (em mm) é a magnitude da redução do diâmetro, logo \Delta d = -\text{SD}.

Passo 2

Relembrando a definição e as fórmulas que vamos usar (aula rápida e simples):
  • A deformação axial (tensão relativa axial) é a variação do comprimento dividida pelo comprimento inicial:
\varepsilon_{ax} = \frac{\Delta L}{L_0}.
Aqui \Delta L é a medida \text{SL} da tabela e L_0 é o comprimento inicial.
  • A deformação lateral (transversal) é a variação do diâmetro dividida pelo diâmetro inicial:
\varepsilon_{lat} = \frac{\Delta d}{d_0}.
Note que, no ensaio de tração, o diâmetro diminui, então \Delta d é negativo. Como a tabela deu a magnitude positiva da redução ( \text{SD}), tem-se \Delta d = -\text{SD}.
  • O coeficiente de Poisson \nu é definido por:
\nu = -\frac{\varepsilon_{lat}}{\varepsilon_{ax}}.
Substituindo \varepsilon_{lat} = -\dfrac{\text{SD}}{d_0} e \varepsilon_{ax} = \dfrac{\text{SL}}{L_0} obtemos (passo algébrico):
\nu = -\frac{-\dfrac{\text{SD}}{d_0}}{\dfrac{\text{SL}}{L_0}} = \frac{\text{SD}}{d_0}\cdot\frac{L_0}{\text{SL}}.
Ou de forma compacta:
\nu = \frac{\text{SD}\,L_0}{d_0\,\text{SL}}.
Isso é prático: basta usar qualquer par (\text{SL},\text{SD}) da região elástica linear.

Passo 3

Escolha da região de cálculo (por que não usar todos os pontos?): o coeficiente de Poisson é uma propriedade da resposta elástica linear do material, então deve-se avaliar \nu na região de pequenas deformações onde a relação lateral × axial é linear. Observando a tabela (valores pequenos de \text{SL} e \text{SD} no início), os primeiros pontos apresentam proporcionalidade bem constante entre \text{SD} e \text{SL}. Por exemplo:
  • Para \text{SL}=0{,}05\\ \text{mm}, \text{SD}=0{,}0035\\ \text{mm} \dfrac{\text{SD}}{\text{SL}}=0{,}0035/0{,}05=0{,}07.
  • Para \text{SL}=0{,}10\\ \text{mm}, \text{SD}=0{,}007\\ \text{mm} \dfrac{\text{SD}}{\text{SL}}=0{,}007/0{,}10=0{,}07.
  • Para \text{SL}=0{,}15\\ \text{mm}, \text{SD}=0{,}0105\\ \text{mm} \dfrac{\text{SD}}{\text{SL}}=0{,}0105/0{,}15=0{,}07.
  • Para \text{SL}=0{,}20\\ \text{mm}, \text{SD}=0{,}014\\ \text{mm} \dfrac{\text{SD}}{\text{SL}}=0{,}014/0{,}20=0{,}07.
Esses quatro primeiros pontos estão perfeitamente proporcionais com razão \dfrac{\text{SD}}{\text{SL}}=0{,}07, o que indica comportamento linear ali. Portanto, é correto usar essa razão como a inclinação da variação lateral em função da axial na região elástica inicial.

Passo 4

Usando a relação derivada em \#Passo 2 e a inclinação encontrada em \#Passo 3:
\nu = \frac{\text{SD}}{ \text{SL} }\cdot\frac{L_0}{d_0}.
Substituímos \dfrac{\text{SD}}{\text{SL}}=0{,}07, L_0=50{,}0\\ \text{mm} e d_0=11{,}29\\ \text{mm}.
Calcule primeiro a razão geométrica:
\frac{L_0}{d_0}=\frac{50{,}0}{11{,}29}\approx 4{,}4286.
Agora:
\nu \approx 0{,}07 \times 4{,}4286 \approx 0{,}3100.
Como verificação, pode-se usar diretamente um par de pontos da região elástica (por exemplo \text{SL}=0{,}10\\ \text{mm}, \text{SD}=0{,}007\\ \text{mm}) na fórmula \nu=\dfrac{\text{SD}\,L_0}{d_0\,\text{SL}}:
\nu = \frac{0{,}007\times 50{,}0}{11{,}29\times 0{,}10} = \frac{0{,}35}{1{,}129}\approx 0{,}3099,
confirmando o valor obtido.

Passo 5

Interpretação curta e incentivo: o valor encontrado \nu\approx 0{,}31 está na faixa típica de aços e muitos metais (por volta de 0{,}2 a 0{,}35), então faz sentido físico. Ótimo — você já tem a técnica: usar a região elástica inicial, calcular \dfrac{\text{SD}}{\text{SL}} e aplicar a fórmula com as dimensões iniciais.

Resposta

\nu = 0{,}310

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