Um corpo de prova em ferro fundido dúctil, que possui uma seção reta retangular com dimensões de 4.8 \mathrm{~mm} \times 15,9 \mathrm{~mm}, é deformado em tração. Usando os dados de carga-alongamento tabulados abaixo, complete os problemas entre a e f.
Carga (N) Comprimento (mm)
0 75,000
4,740 75,025
9,140 75,050
12,920 75,075
16,540 75,113
18,300 75,150
20,170 75,225
22,900 75,375
25,070 75,525
26,800 75,750
28,640 76,500
30,240 78,000
31,100 79,500
31,280 81,000
30,820 82,500
29,180 84,000
27,190 85,500
24,140 87,000
18,970 88,725
Fratura
(a) Plote os dados na forma de tensão de engenharia em função da deformação de engenharia.
(b) Compute o módulo de elasticidade.
(c) Determine o limite de escoamento para uma pré-deformação de 0,002.
(d) Determine o limite de resistência à tração desta liga.
(e) Calcule o módulo de resiliência.
(f) Qual é a ductilidade, em alongamento percentual?

Passo 1

O enunciado pede várias coisas sobre um ensaio de tração: (a) plotar tensão de engenharia vs deformação de engenharia; (b) calcular o módulo de elasticidade; (c) determinar o limite de escoamento usando pré-deformação (offset) de \,0,002; (d) determinar a resistência à tração (tensão última de engenharia); (e) calcular o módulo de resiliência; (f) calcular a ductilidade em alongamento percentual.
Dados fornecidos (observe que a vírgula separa as casas decimais):
  • Seção reta retangular: 4,8\\ \mathrm{mm}\times15,9\\ \mathrm{mm}.
  • Comprimento inicial (comprimento de referência) L_0 = 75,000\\ \mathrm{mm} (ou seja, 75,000 no formato do enunciado = 75{,}000\\ \mathrm{mm} = 75{,}000 mm; interpretamos como 75{,}000 com vírgula decimal, isto é 75{,}000\\ \mathrm{mm} = 75{,}000 mm -> para clareza este é 75{,}000 mm no enunciado com vírgulas decimais; a intenção a tabela é 75{,}000\\ \mathrm{mm}=75{,}000 mm (no padrão do enunciado), e os incrementos são centésimos de mm).
  • Tabela (Carga \Rightarrow Comprimento) conforme enunciado; o comprimento final antes da fratura é 88,725\\ \mathrm{mm} (último valor numérico dado).
Observações necessárias: todos os cálculos de tensão usam a área original A_0 (tensão de engenharia). A deformação de engenharia é \varepsilon = (L-L_0)/L_0. A tensão de engenharia é \sigma = P/A_0. No passo seguinte eu calculo explicitamente área, tensões e deformações para todos os pontos (esses são os pontos que você plotaria para (a)).

Passo 2

Calcular a área inicial da seção e as fórmulas usadas (aula rápida e aplicação).
  • Fórmulas: A_0 = \text{largura}\times\text{espessura},
\varepsilon = \frac{L-L_0}{L_0},
\sigma = \frac{P}{A_0}.
Aqui A_0 em \mathrm{mm}^2, P em \mathrm{N}, logo \sigma em \mathrm{N/mm^2}=\mathrm{MPa}. \varepsilon é adimensional.
  • Cálculo da área: A_0 = 4{,}8\times15{,}9 = 76{,}32\\ \mathrm{mm}^2.
Agora calculo para cada par (Carga, Comprimento) a tensão de engenharia e a deformação de engenharia. Vou mostrar como fazer para os primeiros pontos (passo a passo) e depois dou todos os valores calculados — esses são os pontos que você plota em \sigma vs \varepsilon.
Exemplo de cálculo (para o segundo ponto da tabela, carga 4740\\ \mathrm{N}, comprimento 75{,}025\\ \mathrm{mm}):
  • \Delta L = L-L_0 = 75{,}025-75{,}000 = 0{,}025\\ \mathrm{mm}.
  • \varepsilon = \dfrac{0{,}025}{75{,}000} = 0{,}000333 (aprox).
  • \sigma = \dfrac{4740}{76{,}32} = 62{,}14\\ \mathrm{MPa} (aprox).
Fiz o mesmo procedimento para todos os pontos da tabela. Aqui estão os pares (\varepsilon,\sigma) calculados (arredondei a tensão a duas casas decimais e a deformação a 6 casas significativas quando necessário):
\begin{array}{c|c|c} \text{Carga (N)} & \varepsilon=\dfrac{L-L_0}{L_0} & \sigma\\ (\mathrm{MPa})\\hline 0 & 0{,}000000 & 0{,}00\\\\ 4740 & 0{,}000333 & 62{,}14\\\\ 9140 & 0{,}000667 & 119{,}78\\\\ 12920 & 0{,}001000 & 169{,}28\\\\ 16540 & 0{,}001507 & 216{,}74\\\\ 18300 & 0{,}002000 & 239{,}76\\\\ 20170 & 0{,}003000 & 264{,}45\\\\ 22900 & 0{,}005000 & 300{,}11\\\\ 25070 & 0{,}007000 & 328{,}49\\\\ 26800 & 0{,}010000 & 351{,}24\\\\ 28640 & 0{,}020000 & 375{,}23\\\\ 30240 & 0{,}040000 & 396{,}45\\\\ 31100 & 0{,}060000 & 407{,}57\\\\ 31280 & 0{,}080000 & 409{,}88\\\\ 30820 & 0{,}100000 & 403{,}78\\\\ 29180 & 0{,}120000 & 382{,}26\\\\ 27190 & 0{,}140000 & 356{,}36\\\\ 24140 & 0{,}160000 & 316{,}46\\\\ 18970 & 0{,}183000 & 248{,}65\\\ \end{array}
Comentário prático: esses pares (\varepsilon,\sigma) são os pontos que você plotaria para responder (a). No gráfico típico você verá uma região inicial aproximadamente linear (elasticidade), seguida por escoamento/anelas plásticas e depois máximo (resistência última) e queda até fratura.

Passo 3

(a) Como fazer o gráfico (dica prática para a prova).
  • No eixo horizontal coloque \varepsilon (deformação de engenharia), eixo vertical coloque \sigma em \mathrm{MPa}.
  • Use os pares do passo anterior. Recomendo destacar os primeiros pontos (até \varepsilon\approx0{,}001 0{,}002) para identificar a região linear, e marque o ponto de máxima tensão ( \sigma máximo) também.
    (Como resposta textual aqui eu já dei os pontos numéricos; desenhe o gráfico com esses pontos para completar (a).)

Passo 4

(b) Cálculo do módulo de elasticidade E (aula e método).
  • Conceito: o módulo de elasticidade é a declividade da reta na região proporcional (inicial) da curva tensão–deformação. Em ensaios práticos usa-se um ajuste de reta nos primeiros pontos lineares.
  • Método que usei (simples, seguro para prova): ajustei uma reta passando pela origem aos três primeiros pontos experimentais não nulos (\varepsilon,\sigma) (valores até \varepsilon=0{,}001). Para um ajuste linear sem intercepto, a inclinação E é dada por E=\frac{\sum \sigma_i\varepsilon_i}{\sum \varepsilon_i^2}.(Essa é a forma de mínimos quadrados quando assumimos intercepto nulo — razoável para a porção inicial.)
  • Cálculo (aplicando aos três primeiros pontos não-nulos \varepsilon=0{,}000333,\\\ 0{,}000667,\\\ 0{,}001 com \sigma correspondentes):
    efetuando a soma (mostro o resultado final do cálculo direto): E \approx 173{,}39\\ \mathrm{GPa} \quad(\text{ou }173{,}390\\ \mathrm{MPa}).
  • Interpretação: E\approx173{,}000\\ \mathrm{MPa} é um valor típico para ligas de ferro fundido dúctil (grosso modo 170 180\\ \mathrm{GPa}). Para a resolução em prova você pode arredondar para E\approx173\\ \mathrm{GPa}.

Passo 5

(c) Determinar o limite de escoamento para pré-deformação de 0{,}002 (método do offset — explicação e aplicação).
  • Explicação da técnica: o limite de escoamento por deslocamento de 0{,}002 (0,2%) é obtido traçando-se uma reta de mesma inclinação do módulo de elasticidade E, deslocada para a direita em \varepsilon=0{,}002. A equação dessa reta (offset) é \sigma_{\text{offset}}(\varepsilon)=E(\varepsilon-0{,}002).O limite de escoamento \sigma_y é a tensão onde essa reta intercepta a curva tensão–deformação experimental.
  • Como achar numericamente: comparo valores da reta offset com a curva experimental e localizo o intervalo de \varepsilon onde a reta cruza a curva; então faço uma interpolação linear entre os pontos experimentais desse intervalo.
  • Aplicação com E=173{,}390\\ \mathrm{MPa}: calculei \sigma_{\text{offset}}(\varepsilon) e comparei com os valores tabulados; a interseção ocorre entre \varepsilon=0{,}003 e \varepsilon=0{,}005. Fiz interpolação linear da curva experimental entre esses dois pontos e resolvi a igualdade \sigma_{\text{curva interp}}(\varepsilon)=E(\varepsilon-0{,}002).Resolvendo dá: \varepsilon_y \approx 0{,}003586,e substituindo na reta offset: \sigma_y = E(\varepsilon_y-0{,}002)\approx 275{,}0\\ \mathrm{MPa}.
  • Conclusão: limite de escoamento (offset 0{,}002) \approx 275{,}0\\ \mathrm{MPa}.

Passo 6

(d) Determinar a resistência à tração (tensão máxima de engenharia).
  • Método: é simplesmente o máximo dos valores \sigma calculados (tensão de engenharia máxima antes do decaimento até fratura).
  • Observando a tabela do passo 2, o maior valor de tensão é \sigma_{\max}=409{,}88\\ \mathrm{MPa}que ocorre no ponto com carga 31{,}280\\ \mathrm{N} e \varepsilon=0{,}080.
  • Conclusão: resistência à tração \approx 409{,}9\\ \mathrm{MPa}.

Passo 7

(e) Calcular o módulo de resiliência.
  • Conceito: módulo de resiliência U_r é a energia elástica por unidade de volume que o material pode absorver até o limite de escoamento. Para um comportamento linear-elástico até o escoamento, é a área do triângulo sob a curva até o ponto de escoamento: U_r = \frac{1}{2}\sigma_y\varepsilon_y.(Unidades: \mathrm{MPa} ou \mathrm{J/m^3} — 1 \mathrm{MPa}=10^6\\ \mathrm{Pa}=10^6\\ \mathrm{J/m^3}.)
  • Usando \sigma_y\approx275{,}0\\ \mathrm{MPa} e \varepsilon_y\approx0{,}003586: U_r=\tfrac{1}{2}\times275{,}0\times0{,}003586 \approx 0{,}4926\\ \mathrm{MPa}.
  • Conversão para \mathrm{J/m^3}: U_r \approx 0{,}4926\times10^{6}\\ \mathrm{J/m^3}=4{,}926\times10^{5}\\ \mathrm{J/m^3}.
  • Conclusão: U_r\approx0{,}4926\\ \mathrm{MPa} (ou 4{,}926\times10^{5}\\ \mathrm{J/m^3}).

Passo 8

(f) Ductilidade — alongamento percentual.
  • Fórmula: alongamento percentual A\% = \dfrac{L_f-L_0}{L_0}\times100\%, onde L_f é o comprimento final medido ao romper (último comprimento dado antes da fratura).
  • Valores: L_0=75{,}000\\ \mathrm{mm}, L_f=88{,}725\\ \mathrm{mm} (valor da tabela no último ponto numérico antes de “Fratura”). A\% = \frac{88{,}725-75{,}000}{75{,}000}\times100\% = \frac{13{,}725}{75{,}000}\times100\% \approx 18{,}3\%.
  • Conclusão: ductilidade (alongamento percentual) \approx 18{,}3\%.

Resposta

(a) Pontos (\varepsilon,\sigma) para plot:
(0{,}000000,0{,}00),\\ (0{,}000333,62{,}14),\\ (0{,}000667,119{,}78),\\ (0{,}001000,169{,}28),\\ (0{,}001507,216{,}74),\\ (0{,}002000,239{,}76),\\ (0{,}003000,264{,}45),\\ (0{,}005000,300{,}11),\\ (0{,}007000,328{,}49),\\ (0{,}010000,351{,}24),\\ (0{,}020000,375{,}23),\\ (0{,}040000,396{,}45),\\ (0{,}060000,407{,}57),\\ (0{,}080000,409{,}88),\\ (0{,}100000,403{,}78),\\ (0{,}120000,382{,}26),\\ (0{,}140000,356{,}36),\\ (0{,}160000,316{,}46),\\ (0{,}183000,248{,}65).
(b) E\approx173{,}39\\ \mathrm{GPa}.
(c) Limite de escoamento (offset 0{,}002) \sigma_y\approx275{,}0\\ \mathrm{MPa} (em \varepsilon_y\approx0{,}003586).
(d) Limite de resistência à tração (máxima tensão de engenharia) \sigma_{\max}\approx409{,}9\\ \mathrm{MPa}.
(e) Módulo de resiliência U_r\approx0{,}4926\\ \mathrm{MPa}=4{,}926\times10^{5}\\ \mathrm{J/m^3}.
(f) Ductilidade (alongamento percentual) \approx18{,}3\%.

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