Qual é a magnitude da tensão máxima que existe na extremidade de uma trinca interna que possui um raio de curvatura de
e um comprimento de trinca de
quando uma tensão de tração de 170 MPa é aplicada?
Passo 1
O enunciado pede a magnitude da tensão máxima na extremidade de uma trinca interna (isto é, o valor da tensão na ponta da fissura) quando uma tensão de tração externa de
é aplicada. Os dados fornecidos são:
A pergunta é: qual é
, a tensão máxima existente na extremidade da trinca, dado esses valores?
Passo 2
Breve explicação do modelo físico e das fórmulas que vamos usar (aula curta e prática):
- Para uma fenda ou trinca com a ponta arredondada modelada como uma elipse de semi-eixo maior
e semi-eixo menor , a solução de Inglis mostra que a tensão máxima na ponta (no contorno) é
Aqui:
-
é a tensão máxima na ponta da elipse (crack tip), -
é a tensão aplicada à distância da trinca, -
é o semi-eixo maior (meia‑comprimento da trinca), -
é o semi-eixo menor (metade da abertura na ponta da elipse). - Quando a ponta é muito afiada
a fórmula diverge (tensão muito grande). Para uma ponta arredondada com raio de curvatura , a geometria elíptica relaciona e por
isto é, a curvatura da elipse na ponta tem raio
. Essa relação é padrão para uma elipse de semi-eixos
e
.
Passo 3
Isolando
da relação entre
,
e
:
Expliquei: aqui tiramos raiz de ambos os lados e obtivemos
em termos de
e
. As unidades conferem porque
e
estão ambas em
, então
fica em
.
Passo 4
Substituímos
na expressão de Inglis:
Expliquei: fizemos
. Essa é uma forma prática: a concentração de tensão cresce com a raiz de
.
Passo 5
Agora vamos computar com os números dados. Primeiro calculemos a razão
:
As unidades
cancelam. Calculando a potência de dez:
Passo 6
Extraímos a raiz:
Passo 7
Substituímos em
:
Expliquei: mantivemos a unidade
durante a multiplicação — é consistente porque o fator adimensional
não tem unidade.
Passo 8
Calculemos o produto final:
Logo
Passo 9
Converta para gigapascal para visualizar melhor:
(Incentivo rápido: isso mostra como a tensão local na ponta pode ser muitas vezes maior que a tensão aplicada — por isso trincas são perigosas.)