Qual é a magnitude da tensão máxima que existe na extremidade de uma trinca interna que possui um raio de curvatura de 2,5 \times 10^{-4} \mathrm{~mm} e um comprimento de trinca de 2,5 \times 10^{-2} \mathrm{~mm} quando uma tensão de tração de 170 MPa é aplicada?

Passo 1

O enunciado pede a magnitude da tensão máxima na extremidade de uma trinca interna (isto é, o valor da tensão na ponta da fissura) quando uma tensão de tração externa de 170\\ \mathrm{MPa} é aplicada. Os dados fornecidos são:
\text{raio de curvatura da ponta da trinca: }\rho=2{,}5\times10^{-4}\\ \mathrm{mm}
\text{meia‑comprimento da trinca (ou comprimento da trinca): }a=2{,}5\times10^{-2}\\ \mathrm{mm}
\text{tensão externa aplicada: }\sigma_\infty=170\\ \mathrm{MPa}ã
A pergunta é: qual é \sigma_{\max}, a tensão máxima existente na extremidade da trinca, dado esses valores?

Passo 2

Breve explicação do modelo físico e das fórmulas que vamos usar (aula curta e prática):
  • Para uma fenda ou trinca com a ponta arredondada modelada como uma elipse de semi-eixo maior a e semi-eixo menor b, a solução de Inglis mostra que a tensão máxima na ponta (no contorno) é
\sigma_{\max}=\sigma_\infty\left(1+\frac{2a}{b}\right).
Aqui:
  • \sigma_{\max} é a tensão máxima na ponta da elipse (crack tip),
  • \sigma_\infty é a tensão aplicada à distância da trinca,
  • a é o semi-eixo maior (meia‑comprimento da trinca),
  • b é o semi-eixo menor (metade da abertura na ponta da elipse).
  • Quando a ponta é muito afiada b\to0 a fórmula diverge (tensão muito grande). Para uma ponta arredondada com raio de curvatura \rho, a geometria elíptica relaciona b e \rho por
\rho=\frac{b^2}{a},
isto é, a curvatura da elipse na ponta tem raio \rho. Essa relação é padrão para uma elipse de semi-eixos a e b.

Passo 3

Isolando b da relação entre \rho, a e b:
\rho=\frac{b^2}{a}\quad\Rightarrow\quad b=\sqrt{a\,\rho}.
Expliquei: aqui tiramos raiz de ambos os lados e obtivemos b em termos de a e \rho. As unidades conferem porque a e \rho estão ambas em \mathrm{mm}, então b fica em \mathrm{mm}.

Passo 4

Substituímos b=\sqrt{a\rho} na expressão de Inglis:
\sigma_{\max}=\sigma_\infty\left(1+\frac{2a}{\sqrt{a\rho}}\right) =\sigma_\infty\left(1+2\sqrt{\frac{a}{\rho}}\right).
Expliquei: fizemos 2a/b = 2a/\sqrt{a\rho}=2\sqrt{a/\rho}. Essa é uma forma prática: a concentração de tensão cresce com a raiz de a/\rho.

Passo 5

Agora vamos computar com os números dados. Primeiro calculemos a razão a/\rho:
\frac{a}{\rho}=\frac{2{,}5\times10^{-2}\\ \mathrm{mm}}{2{,}5\times10^{-4}\\ \mathrm{mm}}.
As unidades \mathrm{mm} cancelam. Calculando a potência de dez:
\frac{2{,}5\times10^{-2}}{2{,}5\times10^{-4}}=\frac{2{,}5}{2{,}5}\times10^{-2-(-4)}=1\times10^{2}=100.

Passo 6

Extraímos a raiz:
\sqrt{\frac{a}{\rho}}=\sqrt{100}=10.

Passo 7

Substituímos em \sigma_{\max}=\sigma_\infty\left(1+2\sqrt{\dfrac{a}{\rho}}\right):
\sigma_{\max}=170\\ \mathrm{MPa}\left(1+2\cdot10\right)=170\\ \mathrm{MPa}\times(1+20)=170\\ \mathrm{MPa}\times21.
Expliquei: mantivemos a unidade \mathrm{MPa} durante a multiplicação — é consistente porque o fator adimensional 1+2\sqrt{a/\rho} não tem unidade.

Passo 8

Calculemos o produto final:
170\times21=170\times(20+1)=170\times20+170=3400+170=3570.
Logo
\sigma_{\max}=3570\\ \mathrm{MPa}.

Passo 9

Converta para gigapascal para visualizar melhor:
3570\\ \mathrm{MPa}=3{,}570\\ \mathrm{GPa}=3{,}57\\ \mathrm{GPa}.
(Incentivo rápido: isso mostra como a tensão local na ponta pode ser muitas vezes maior que a tensão aplicada — por isso trincas são perigosas.)

Resposta

\sigma_{\max}=3{,}57\times10^{3}\\ \mathrm{MPa}=3{,}57\\ \mathrm{GPa}

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