Tabulados abaixo encontram-se dados que foram coletados a partir de uma série de ensaios de impacto Charpy com um ferro fundido dúctil
Temperatura
\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right)
Energia de
Impacto (\mathrm{J})
-25 124
-50 123
-75 115
-85 100
-100 73
-110 52
-125 26
-150 9
-175 6
(a) Plote os dados na forma da energia de impacto em função da temperatura.
(b) Determine uma temperatura de transição dúctil-frágil como sendo aquela temperatura que corresponde à média entre as energias de impacto máxima e mínima.
(c) Determine uma temperatura de transição dúctil-frágil como sendo aquela temperatura na qual a energia de impacto é de 80 J .

Passo 1

O enunciado fornece uma série de ensaios Charpy (energia de impacto em função da temperatura). Preciso responder três itens:
  • (a) Plotar os dados energia vs temperatura.
  • (b) Determinar a temperatura de transição dúctil-frágil definida como a temperatura cuja energia de impacto é a média entre a energia máxima e a mínima do conjunto de dados.
  • (c) Determinar a temperatura de transição dúctil-frágil definida como a temperatura em que a energia de impacto é \,80\\ \mathrm{J}.
Dados fornecidos (lista direta da tabela, que vou usar nos cálculos e no gráfico):
(-25,\;124),\;(-50,\;123),\;(-75,\;115),\;(-85,\;100),\;(-100,\;73),\;(-110,\;52),\;(-125,\;26),\;(-150,\;9),\;(-175,\;6).

Passo 2

Como fazer o gráfico pedido em (a) — instruções passo a passo para você desenhar à mão ou no computador (vou também comentar a forma do gráfico):
  1. Em um papel milimetrado ou numa folha, desenhe dois eixos perpendiculares. No eixo horizontal coloque a temperatura (em ^\circ\mathrm{C}) e no eixo vertical coloque a energia de impacto (em \mathrm{J}).
  2. Sugestão de escala:
    • Temperatura: marque de -180^\circ\mathrm{C} até -20^\circ\mathrm{C} com marcas a cada 25^\circ\mathrm{C} (ou a cada 10^\circ\mathrm{C} se quiser mais precisão).
    • Energia: marque de 0\\ \mathrm{J} até 130\\ \mathrm{J} com marcas a cada 10\\ \mathrm{J} (ou cada 20\\ \mathrm{J}).
  3. Plote cada um dos pontos da lista do Passo 1: (-25,124), (-50,123), (-75,115), (-85,100), (-100,73), (-110,52), (-125,26), (-150,9), (-175,6).
  4. Una os pontos com uma linha suave (não precisa ser uma reta entre todos; os ensaios mostram tipicamente uma curva que decresce quando a temperatura diminui — aqui a energia cai bastante ao ficar mais negativa).
  5. Observe que o gráfico terá uma queda acentuada na faixa entre aproximadamente -85^\circ\mathrm{C} e -125^\circ\mathrm{C}: é aí que ocorre a transição dúctil→frágil.
    Resumo prático: para (a) plote os pontos acima, una-os com linha suave; o gráfico resultante é decrescente com uma região de transição íngreme entre cerca de -85^\circ\mathrm{C} e -125^\circ\mathrm{C}.

Passo 3

Resolver (b): primeiro achar a energia média entre o máximo e o mínimo do conjunto de dados.
  1. Identificar energia máxima e mínima a partir da tabela:
    • Energia máxima E_{\max}=\;124\\ \mathrm{J} (em -25^\circ\mathrm{C}).
    • Energia mínima E_{\min}=\;6\\ \mathrm{J} (em -175^\circ\mathrm{C}).
  2. Definir a energia média E_{\text{média}}é como
E_{\text{média}}=\frac{E_{\max}+E_{\min}}{2}.é
  1. Calcular:
E_{\text{média}}=\frac{124+6}{2}=\frac{130}{2}=65\\ \mathrm{J}.é
Portanto, a temperatura de transição pedida em (b) é a temperatura na qual a energia é \,65\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Método para obter a temperatura correspondente a uma energia dada (interpolação linear) — explicação didática:
  1. Quando temos dois pontos medidos (T_1,E_1) e (T_2,E_2) e queremos a temperatura T para a qual a energia é E^\ast (e E^\ast está entre E_1 e E_2), usamos interpolação linear porque, localmente, a curva pode ser aproximada por uma reta entre esses pontos.
  2. A fórmula da interpolação linear (derivada da equação da reta) é
T = T_1 + (E^\ast - E_1)\,\frac{T_2-T_1}{E_2-E_1}.
Aqui:
  • T_1,T_2 são as temperaturas dos pontos conhecidos,
  • E_1,E_2 são as energias dos pontos conhecidos,
  • E^\ast é a energia alvo,
  • T é a temperatura procurada.
  1. Essa fórmula vem de escrever a equação da reta que passa por (T_1,E_1) e (T_2,E_2) na forma \dfrac{E-E_1}{E_2-E_1}=\dfrac{T-T_1}{T_2-T_1} e isolar T.

Passo 5

Aplicar interpolação para (b) — encontrar a temperatura correspondente a E^\ast=65\\ \mathrm{J}.
  1. Escolher os dois pontos da tabela que cercam 65\\ \mathrm{J}. Da tabela vemos:
    • (-100,\;73) e (-110,\;52) (peguei estes valores diretamente da tabela do enunciado).
    • Aqui T_1=-100^\circ\mathrm{C}, E_1=73\\ \mathrm{J}; T_2=-110^\circ\mathrm{C}, E_2=52\\ \mathrm{J}; e E^\ast=65\\ \mathrm{J}.
  2. Aplicar a fórmula:
T = -100 + (65-73)\,\frac{-110-(-100)}{52-73}.
Calcule passo a passo:
  • 65-73 = -8.
  • -110-(-100) = -10.
  • 52-73 = -21.
  • Logo
T = -100 + (-8)\cdot\frac{-10}{-21} = -100 + \frac{80}{-21} = -100 - \frac{80}{21}.
  • \dfrac{80}{21}\approx 3{,}8095238.
  • Então
T \approx -100 - 3{,}8095238 \approx -103{,}8095238^\circ\mathrm{C}.
  1. Arredondando para duas casas decimais (prático para prova): T\approx -103{,}81^\circ\mathrm{C}.
    Interpretação: a temperatura de transição definida pela média de energias é aproximadamente -103{,}81^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Aplicar interpolação para (c) — encontrar a temperatura correspondente a E^\ast=80\\ \mathrm{J}.
  1. Escolher os dois pontos da tabela que cercam 80\\ \mathrm{J}. Observando a tabela:
    • (-85,\;100) e (-100,\;73) cercam 80\\ \mathrm{J} (peguei estes valores diretamente da tabela).
    • Aqui T_1=-85^\circ\mathrm{C}, E_1=100\\ \mathrm{J}; T_2=-100^\circ\mathrm{C}, E_2=73\\ \mathrm{J}; e E^\ast=80\\ \mathrm{J}.
  2. Aplicar a fórmula:
T = -85 + (80-100)\,\frac{-100-(-85)}{73-100}.
Calcule passo a passo:
  • 80-100 = -20.
  • -100-(-85) = -15.
  • 73-100 = -27.
  • Logo
T = -85 + (-20)\cdot\frac{-15}{-27} = -85 + \frac{300}{-27} = -85 - \frac{300}{27}.
  • \dfrac{300}{27}=\dfrac{100}{9}\approx 11{,}1111111.
  • Então
T \approx -85 - 11{,}1111111 \approx -96{,}1111111^\circ\mathrm{C}.
  1. Arredondando para duas casas decimais: T\approx -96{,}11^\circ\mathrm{C}.
    Interpretação: a temperatura de transição definida pela energia de 80\\ \mathrm{J} é aproximadamente -96{,}11^\circ\mathrm{C}.

Resposta

(a) Gráfico: plotar os pontos (-25,\,124),\;(-50,\,123),\;(-75,\,115),\;(-85,\,100),\;(-100,\,73),\;(-110,\,52),\;(-125,\,26),\;(-150,\,9),\;(-175,\,6) e unir com linha suave (energia decresce com temperatura; transição íngreme entre -85^\circ\mathrm{C} e -125^\circ\mathrm{C}).
(b) Temperatura para energia média \,65\\ \mathrm{J}: -103{,}81^\circ\mathrm{C}.
(c) Temperatura para energia \,80\\ \mathrm{J}: -96{,}11^\circ\mathrm{C}.

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