Uma mola, com comprimento de repouso (inicial) igual a 30 mm , foi submetida a um ensaio de compressão. Sabe-se que uma força de compressão com intensidade de 40 N foi aplicada na seção transversal dessa mola, a qual tem 8 mm de diâmetro. Considerando que a mola sofreu uma deformação elástica até reduzir seu comprimento para 24,7 \mathrm{~mm}, determine: ( 2,0 pontos)
a) A variação de comprimento da mola.
b) A deformação da mola, em percentual (%).
c) A tensão de compressão da mola.
  • d) O módulo de elasticidade da mola.

Passo 1

Dados fornecidos e o que se pede:
L_0=30\\ \mathrm{mm} (comprimento inicial de repouso).
L=24,7\\ \mathrm{mm} (comprimento após compressão).
F=40\\ \mathrm{N} (força de compressão aplicada).
d=8\\ \mathrm{mm} (diâmetro da seção transversal, assumida circular).
Perguntas:
a) Determinar a variação de comprimento da mola.
b) Determinar a deformação (strain) da mola, em percentual (%).
c) Determinar a tensão de compressão (stress) na mola.
d) Determinar o módulo de elasticidade (módulo de Young) da mola.

Passo 2

Calcular a variação de comprimento \Delta L. A definição é:
\Delta L = L - L_0.
Substituindo os valores:
\Delta L = 24,7 - 30 = -5,3\\ \mathrm{mm}.
Interpretação: o sinal negativo indica que houve encurtamento (compressão). O módulo da variação é 5,3\\ \mathrm{mm}.

Passo 3

Explicar e calcular a deformação (strain). Definição de deformação uniaxial (adimensional):
\varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0},
onde \varepsilon é adimensional (razão). Substituindo:
\varepsilon = \frac{-5,3}{30} = -0,176666\ldots
Para expressar em percentual multiplicamos por 100\%:
\varepsilon_{\%} = \varepsilon \times 100\% = -17,666\ldots\% \approx -17,67\%.
Interpretação: -17,67\% significa redução de 17,67\% no comprimento (compressão).

Passo 4

Calcular a área da seção transversal A (círculo) e explicar fórmula. Para um círculo:
A = \frac{\pi d^{2}}{4},
onde d é o diâmetro. Substituindo d=8\\ \mathrm{mm}:
A = \frac{\pi \cdot 8^{2}}{4} = \frac{64\pi}{4}=16\pi\\ \mathrm{mm^{2}}.
Valor numérico aproximado:
A \approx 16\pi \approx 50,265\\ \mathrm{mm^{2}}.

Passo 5

Explicar e calcular a tensão (stress) de compressão \sigma. Definição:
\sigma = \frac{F}{A},
onde \sigma tem unidades de força por área (por exemplo \mathrm{N/mm^{2}}, que é igual a \mathrm{MPa}). Usando A=16\pi\\ \mathrm{mm^{2}}:
\sigma = \frac{40}{16\pi} = \frac{5}{2\pi}\\ \mathrm{N/mm^{2}}.
Valor numérico:
\sigma \approx 0,7958\\ \mathrm{N/mm^{2}} = 0,7958\\ \mathrm{MPa}.
Observação: é uma tensão compressiva; apresentamos o valor em módulo (positivo) e podemos anotar que é compressiva se desejarmos sinal negativo.

Passo 6

Explicar o módulo de elasticidade (módulo de Young) e calcular. Definição (Lei de Hooke para regime elástico linear uniaxial):
E = \frac{\sigma}{\varepsilon},
onde E tem as mesmas unidades que \sigma (pois \varepsilon é adimensional). Atenção ao sinal: \sigma e \varepsilon terão ambos sinal negativo em compressão, o quociente resulta positivo. Usando \sigma \approx 0,7957747\\ \mathrm{N/mm^{2}} e \varepsilon = -0,176666\ldots (usar o valor absoluto no cálculo do módulo):
E = \frac{0,7957747}{0,176666\ldots} \approx 4,505\\ \mathrm{N/mm^{2}}.
Convertendo unidades comuns:
E \approx 4,505\\ \mathrm{MPa} = 0,004505\\ \mathrm{GPa}.
Interpretação: esse é o módulo elástico calculado a partir dos dados (valor relativamente baixo comparado a materiais metálicos usuais, indicando material bastante deformável).

Resposta

a) \Delta L = -5,3\\ \mathrm{mm}
b) \varepsilon = -0,17667 (adimensional), \varepsilon = -17,67\%
c) \sigma = \dfrac{5}{2\pi}\\ \mathrm{N/mm^{2}} \approx 0,7958\\ \mathrm{MPa}
d) E \approx 4,505\\ \mathrm{MPa}

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