Uma bolacha de silício dopada com fósforo tem uma resistividade elétrica de 8,33 \times 10^{-5} \Omega . \mathrm{m} a 27^{\circ} \mathrm{C}. Admita que as mobilidades dos transportadores de
carga são constantes com os valores indicados na tabela no final dos exercícios.
a) Qual a concentração de portadores de carga majoritários, admitindo-se que a ionização do fósforo é total?
b) Qual a razão entre a concentração de átomos de fósforo e de silício neste semicondutor? (Em outras palavras: quantos átomos de fósforo estão presentes, por átomos de silício?) obs: busque na literatura os dados necessários para resolver esta questão.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) A concentração dos portadores majoritários, supondo ionização total do fósforo.
  2. (b) A razão entre a concentração de átomos de fósforo e de silício (quantos átomos de P por átomo de Si).
Dados fornecidos e constantes que vou usar (todos retirados da literatura padrão para silício a 27^\circ\mathrm{C}):
\rho = 8,33\times10^{-5}\,\Omega\cdot\mathrm{m}
Mobilidades (valores típicos a 300\\ \mathrm{K}):
\mu_n = 1350\\ \mathrm{cm^2/(V\cdot s)} = 0,135\\ \mathrm{m^2/(V\cdot s)}
\mu_p = 480\\ \mathrm{cm^2/(V\cdot s)} = 0,048\\ \mathrm{m^2/(V\cdot s)}
Constantes físicas:
q = 1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}
Dados do silício para a parte (b) (valores usados da literatura):
\text{densidade do Si} = 2,33\\ \mathrm{g/cm^3}
\text{massa molar do Si} = 28,0855\\ \mathrm{g/mol}
N_A = 6,022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}
Observação importante: como o semicondutor é dopado com fósforo (doadores) e admite-se ionização total, os elétrons são os portadores majoritários e podemos aproximar n \approx N_D e desprezar a contribuição das lacunas ao condutor elétrico.

Passo 2

Fórmula básica que liga resistividade à concentração de portadores e às mobilidades:
\sigma = q\,(n\mu_n + p\mu_p)
onde \sigma é a condutividade elétrica e \rho a resistividade, com relação
\rho = \frac{1}{\sigma}.
Explicando cada símbolo:
  • q é a carga elementar ( \mathrm{C}),
  • n é a concentração de elétrons (portadores majoritários aqui), em \mathrm{m^{-3}},
  • p é a concentração de lacunas (minoritária),
  • \mu_n e \mu_p são as mobilidades dos elétrons e lacunas, em \mathrm{m^2/(V\cdot s)}.
Como o material é n-tipo fortemente dominado por doadores ionizados e admitimos ionização total, p é muito menor que n e podemos aproximar:
\rho \approx \frac{1}{q\,n\,\mu_n}.
Isolando n:
n \approx \frac{1}{q\,\mu_n\,\rho}.

Passo 3

Agora calculamos n passo a passo.
Valores em fórmulas (todos em unidades SI):
q = 1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}, \quad \mu_n = 0,135\\ \mathrm{m^2/(V\cdot s)}, \quad \rho = 8,33\times10^{-5}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.
Multiplicando no denominador:
q\,\mu_n\,\rho = (1,602\times10^{-19})\times(0,135)\times(8,33\times10^{-5}).
Faço a conta em partes:
0,135\times 8,33\times10^{-5} = 1,12455\times10^{-5}
(1,602\times10^{-19})\times(1,12455\times10^{-5}) = 1,80153\times10^{-24}.
Portanto
n \approx \frac{1}{1,80153\times10^{-24}} = 5,55\times10^{23}\\ \mathrm{m^{-3}}.
Converter para \mathrm{cm^{-3}} (útil em semicondutores): 1\\ \mathrm{m^3} = 10^{6}\\ \mathrm{cm^3}, logo
n \approx 5,55\times10^{17}\\ \mathrm{cm^{-3}}.

Passo 4

Interpretação do resultado da parte (a): esse valor de n é típico de um silício moderadamente dopado (alguns 10^{17}\\ \mathrm{cm^{-3}}). Mantive três algarismos significativos coerentes com os dados.

Passo 5

Agora calculamos a razão \dfrac{N_P}{N_{Si}} pedida na parte (b). Assumindo ionização total, N_P \approx n (concentração de átomos de fósforo ionizados é igual à concentração de elétrons doadores). Precisamos da densidade de átomos de silício N_{Si} (átomos por volume).
Número de mols por \mathrm{cm^3}:
\frac{2,33\\ \mathrm{g/cm^3}}{28,0855\\ \mathrm{g/mol}} = 0,0830\\ \mathrm{mol/cm^3}.
Multiplicando por N_A para obter átomos por \mathrm{cm^3}:
N_{Si} = 0,0830\times 6,022\times10^{23} = 4,997\times10^{22}\\ \mathrm{atoms/cm^3}.
Em \mathrm{m^{-3}} (multiplicar por 10^{6}):
N_{Si} = 4,997\times10^{28}\\ \mathrm{m^{-3}}\approx 5,00\times10^{28}\\ \mathrm{m^{-3}}.

Passo 6

Agora a razão entre átomos de fósforo e silício:
\frac{N_P}{N_{Si}} \approx \frac{n}{N_{Si}} = \frac{5,55\times10^{23}}{4,997\times10^{28}} = 1,11\times10^{-5}.
Interpretando em palavras:
  • Isso significa aproximadamente 1,11\times10^{-5} átomos de P por átomo de Si.
  • Invertendo, há cerca de
\frac{1}{1,11\times10^{-5}} \approx 9,00\times10^{4}
átomos de Si por cada átomo de P — ou seja, aproximadamente 1 átomo de P a cada 9,0\times10^{4} átomos de Si.
Em termos de partes por milhão (ppm): 1,11\times10^{-5}\times10^{6} \approx 11,1\\ \mathrm{ppm}.

Resposta

n \approx 5,55\times10^{23}\\ \mathrm{m^{-3}} = 5,55\times10^{17}\\ \mathrm{cm^{-3}}
\dfrac{N_P}{N_{Si}} \approx 1,11\times10^{-5} (equivalente a cerca de 1 átomo de P por 9,00\times10^{4} átomos de Si; aproximadamente 11,1\\ \mathrm{ppm}).

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