Um corpo rigido existe em um espaço de n dimensões. Quantas coordenadas são necessárias para especificar a posição e a orientação deste corpo no espaço?

Passo 1

Beleza, o exercício tá perguntando: “Num espaço de dimensões, quantas coordenadas eu preciso pra dizer tanto a posição quanto a orientação de um corpo rígido?” Isso é conteúdo de grau de liberdade (degrees of freedom) de um corpo rígido e precisa de noções de geometria e álgebra linear (rotação em ). Vamos usar:
  1. Pra posição: conta-se as coordenadas translacionais (tipo o centro de massa).
  2. Pra orientação: conta-se quantos parâmetros são necessários pra descrever uma rotação em dimensões, ou seja, a dimensão do grupo .

Passo 2

Primeiro, a parte da posição. Em (x1, x2, dots, xn) , pra fixar onde o corpo está, basta escolher um ponto de referência (normalmente o centro de massa). Esse ponto tem coordenadas:
Ou seja, a parte de “translação” dá exatamente graus de liberdade.

Passo 3

Agora, a parte da orientação. Uma “orientação” é basicamente escolher um sistema de eixos ortonormais para o corpo. Em 3D, por exemplo, a gente fala em 3 ângulos de Euler; em (n-1) + (n-2) + dots + 2 + 1 = (n-1),n2 dimensões, o equivalente é a dimensão do grupo de rotações .
Pra entender isso de um jeito mais “manual”, imagine que você precisa montar um conjunto de vetores unitários mutuamente ortogonais:
  • O primeiro vetor pode apontar pra qualquer direção na esfera , então tem graus de liberdade.
  • O segundo vetor deve ser ortogonal ao primeiro, então vive numa esfera de dimensão , dando mais graus de liberdade.
  • O terceiro vetor fica numa esfera de dimensão , etc.
Somando tudo:
Esse número é justamente a quantidade de parâmetros pra especificar uma rotação em dimensões.

Passo 4

Pra achar o total de graus de liberdade do corpo rígido, basta somar a parte da posição ( underbracentranslação ;+;underbracen(n-1)2rotação ;=;n(n-1) + 2n2 ;=;n^2 + n2 ;=;n(n+1)2 ) com a parte da orientação :
çãçã

Resposta

O número total de coordenadas necessárias é
boxedn(n+1)2

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