Um corpo rigido existe em um espaço de
dimensões. Quantas coordenadas são necessárias para especificar a posição e a orientação deste corpo no espaço?
Passo 1
Beleza, o exercício tá perguntando: “Num espaço de
dimensões, quantas coordenadas eu preciso pra dizer tanto a posição quanto a orientação de um corpo rígido?” Isso é conteúdo de grau de liberdade (degrees of freedom) de um corpo rígido e precisa de noções de geometria e álgebra linear (rotação em
). Vamos usar:
- Pra posição: conta-se as coordenadas translacionais (tipo o centro de massa).
- Pra orientação: conta-se quantos parâmetros são necessários pra descrever uma rotação em
dimensões, ou seja, a dimensão do grupo .
Passo 2
Primeiro, a parte da posição. Em
, pra fixar onde o corpo está, basta escolher um ponto de referência (normalmente o centro de massa). Esse ponto tem
coordenadas:
Ou seja, a parte de “translação” dá exatamente
graus de liberdade.
Passo 3
Agora, a parte da orientação. Uma “orientação” é basicamente escolher um sistema de eixos ortonormais para o corpo. Em 3D, por exemplo, a gente fala em 3 ângulos de Euler; em
dimensões, o equivalente é a dimensão do grupo de rotações
.
Pra entender isso de um jeito mais “manual”, imagine que você precisa montar um conjunto de
vetores unitários mutuamente ortogonais:
- O primeiro vetor pode apontar pra qualquer direção na esfera
, então tem graus de liberdade. - O segundo vetor deve ser ortogonal ao primeiro, então vive numa esfera de dimensão
, dando mais graus de liberdade. - O terceiro vetor fica numa esfera de dimensão
, etc.
Somando tudo:
Esse número
é justamente a quantidade de parâmetros pra especificar uma rotação em
dimensões.
Passo 4
Pra achar o total de graus de liberdade do corpo rígido, basta somar a parte da posição (
) com a parte da orientação
:
Resposta
O número total de coordenadas necessárias é