Uma roda gira com uma aceleração angular at dada por
a2=4 a t^3-3 b t^2
onde t é o tempo e a e b são constantes. Se a roda possui uma velocidade angular inicial omega0, escreva as equaçōes para (a) a velocidade angular e (b) o ångulo descrito como função do tempo.

Passo 1

Beleza, temos um problema de rotação aqui. A roda está girando com uma aceleração angular $ a(t) = 4a t^3 - 3b t^2 $. Queremos descobrir duas coisas: a velocidade angular $ \omega(t) $ e o ângulo $ \theta(t) $ que a roda descreve ao longo do tempo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como integração, já que a aceleração é a derivada da velocidade e a velocidade é a derivada do ângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade angular $ \omega(t) $. Sabemos que a aceleração angular é a derivada da velocidade:
omega(t)
Para achar $ \omega(t) $, precisamos integrar $ a(t) $ em relação ao tempo.

Passo 3

Vamos integrar a expressão da aceleração:
omega(t) = integral a(t) , dt = integral (4a t^3 - 3b t^2) , dt
Integrando termo a termo:
omega(t) = 4a integral t^3 , dt - 3b integral t^2 , dt
omega(t) = 4a ( t^44 ) - 3b ( t^33 ) + C
Simplificando:
omega(t) = a t^4 - b t^3 + C

Passo 4

Agora, usamos a condição inicial. Quando $ t = 0 $, a velocidade angular é $ \omega_0 $:
t = 0
omega0
Então, a expressão para a velocidade angular fica:
omega(0) = a (0)^4 - b (0)^3 + C = omega0

Passo 5

Agora, vamos encontrar o ângulo $ \theta(t) $. Sabemos que a velocidade angular é a derivada do ângulo:
theta(t)
Para achar $ \theta(t) $, precisamos integrar $ \omega(t) $ em relação ao tempo.

Passo 6

Vamos integrar a expressão da velocidade angular:
theta(t) = integral omega(t) , dt = integral (a t^4 - b t^3 + omega0) , dt
Integrando termo a termo:
theta(t) = a integral t^4 , dt - b integral t^3 , dt + omega0 integral dt
theta(t) = a ( t^55 ) - b ( t^44 ) + omega0 t + D
Simplificando:
theta(t) = a5 t^5 - b4 t^4 + omega0 t + D

Passo 7

Usamos a condição inicial para o ângulo. Geralmente, assumimos que $ \theta(0) = 0 $:
theta(0) = 0
theta(0) = a5 (0)^5 - b4 (0)^4 + omega0 (0) + D = 0
Então, a expressão para o ângulo fica:
D = 0

Resposta

(a) A velocidade angular é
omega(t) = a t^4 - b t^3 + omega0
(b) O ângulo descrito é
theta(t) = a5 t^5 - b4 t^4 + omega0 t

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