Uma roda gira com uma aceleração angular
dada por
onde
é o tempo e
e
são constantes. Se a roda possui uma velocidade angular inicial
, escreva as equaçōes para (a) a velocidade angular e (b) o ångulo descrito como função do tempo.
Passo 1
Beleza, temos um problema de rotação aqui. A roda está girando com uma aceleração angular $ a(t) = 4a t^3 - 3b t^2 $. Queremos descobrir duas coisas: a velocidade angular $ \omega(t) $ e o ângulo $ \theta(t) $ que a roda descreve ao longo do tempo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como integração, já que a aceleração é a derivada da velocidade e a velocidade é a derivada do ângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade angular $ \omega(t) $. Sabemos que a aceleração angular é a derivada da velocidade:
Para achar $ \omega(t) $, precisamos integrar $ a(t) $ em relação ao tempo.
Passo 3
Vamos integrar a expressão da aceleração:
Integrando termo a termo:
Simplificando:
Passo 4
Agora, usamos a condição inicial. Quando $ t = 0 $, a velocidade angular é $ \omega_0 $:
Então, a expressão para a velocidade angular fica:
Passo 5
Agora, vamos encontrar o ângulo $ \theta(t) $. Sabemos que a velocidade angular é a derivada do ângulo:
Para achar $ \theta(t) $, precisamos integrar $ \omega(t) $ em relação ao tempo.
Passo 6
Vamos integrar a expressão da velocidade angular:
Integrando termo a termo:
Simplificando:
Passo 7
Usamos a condição inicial para o ângulo. Geralmente, assumimos que $ \theta(0) = 0 $:
Então, a expressão para o ângulo fica:
Resposta
(a) A velocidade angular é
(b) O ângulo descrito é