Um corredor em uma corrida de 100 metros inicia do repouso e imprime um movimento com aceleração constante de magnitude a por 2 segundos, para em seguida correr com velocidade constante até o final da corrida. a) Determine a posição (relativamente a posição inicial) e a velocidade do corredor ao final dos 2 segundos em função de a. b) Assuma que o corredor leva um total de 10 segundos para correr os 100 metros. Encontre o valor da aceleração a. (deixe sua resposta em termos de uma fração, mas indique claramente as unidades).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado diz e o que é pedido (tudo que peguei do enunciado).
  • O corredor percorre uma distância total de 100 metros, partindo do repouso.
  • Durante os primeiros 2 segundos ele tem aceleração constante de magnitude a.
  • Após esses 2 segundos ele passa a correr com velocidade constante (isto é, aceleração 0) até completar os 100 metros.
  • Na parte (b) é dada a informação adicional: o tempo total para percorrer os 100 metros é 10 segundos.
Perguntas do enunciado:
  • (a) Determine a posição (relativamente à posição inicial) e a velocidade do corredor ao final dos 2 segundos, em função de a.
  • (b) Assumindo que o tempo total da corrida é 10 segundos, encontre o valor da aceleração a (deixe a resposta em forma de fração e indique unidades).

Passo 2

Definindo variáveis e lembrando as fórmulas de cinemática (explicando o porquê e o que cada símbolo significa).
  • Seja s(t) a posição do corredor medida a partir da posição inicial no instante t (em metros).
  • Seja v(t) a velocidade do corredor no instante t (em metros por segundo).
  • Aceleração constante igual a a (em metros por segundo ao quadrado) significa que a velocidade varia linearmente com o tempo segundo a fórmula
v(t)=v_0 + a\,t,
onde v_0 é a velocidade inicial (no nosso caso v_0=0 porque parte do repouso). Essa fórmula vem da definição de aceleração média constante: aceleração é variação de velocidade por unidade de tempo.
  • A posição quando a aceleração é constante é dada por
s(t)=s_0 + v_0\,t + \tfrac{1}{2}a\,t^2,
onde s_0 é a posição inicial (aqui s_0=0). Essa fórmula resulta de integrar a velocidade (que é v_0+at) em relação ao tempo.
Vou aplicar essas fórmulas com v_0=0 e s_0=0.

Passo 3

Cálculo da velocidade ao final dos 2 segundos.
  • Usando v(t)=v_0+a\,t com v_0=0 e t=2:
v(2)=0 + a\cdot 2 = 2a.
Portanto a velocidade ao final dos 2 segundos é \,2a (unidade: \mathrm{m/s}). Explico: a aceleração a acrescenta a metros por segundo à velocidade a cada segundo; em 2 s o acréscimo é 2a.

Passo 4

Cálculo da posição ao final dos 2 segundos.
  • Usando s(t)=s_0+v_0t+\tfrac{1}{2}a t^2 com s_0=0, v_0=0, t=2:
s(2)=0+0+\tfrac{1}{2}a\cdot 2^2=\tfrac{1}{2}a\cdot 4=2a.
Portanto a posição relativa ao início ao final dos 2 segundos é \,2a metros. Observação didática: é comum que, partindo do repouso com aceleração constante, a distância percorrida em tempo t seja proporcional a t^2; aqui t=2 simplifica para o fator 4 que cancela com \tfrac{1}{2}.

Passo 5

Relacionando com a segunda parte do enunciado (tempo total 10 s) para encontrar a.
  • Distância já percorrida nos primeiros 2 segundos: s(2)=2a (peguei essa expressão dos passos anteriores).
  • Velocidade constante após 2 s é v(2)=2a (também obtido acima).
  • Tempo restante até completar a corrida: 10-2=8 segundos.
  • Distância percorrida na fase de velocidade constante (dos 2 s até 10 s): velocidade vezes tempo,
\text{distância restante}=v(2)\cdot 8 = (2a)\cdot 8 = 16a.â
  • A soma das distâncias das duas fases tem que ser 100 metros. Então:
s(2) + \text{distância restante} = 100.â
Substituindo s(2)=2a e a distância restante 16a:
2a + 16a = 100.

Passo 6

Resolver a equação para a, passo a passo.
  • Somando os termos:
18a = 100.
  • Isolando a:
a = \frac{100}{18}.
  • Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 2:
a = \frac{50}{9}.
  • Unidade: como a é aceleração, a unidade é \mathrm{m/s^2}. Portanto a resposta em forma de fração com unidade é \dfrac{50}{9}\\ \mathrm{m/s^2}.

Resposta

(a) s(2)=2a m e v(2)=2a m/s
(b) a=\dfrac{50}{9}\\ \mathrm{m/s^2}

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