Um corredor em uma corrida de 100 metros inicia do repouso e imprime um movimento com aceleração constante de magnitude
por 2 segundos, para em seguida correr com velocidade constante até o final da corrida. a) Determine a posição (relativamente a posição inicial) e a velocidade do corredor ao final dos 2 segundos em função de
. b) Assuma que o corredor leva um total de 10 segundos para correr os 100 metros. Encontre o valor da aceleração
. (deixe sua resposta em termos de uma fração, mas indique claramente as unidades).
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado diz e o que é pedido (tudo que peguei do enunciado).
- O corredor percorre uma distância total de
metros, partindo do repouso. - Durante os primeiros
segundos ele tem aceleração constante de magnitude . - Após esses
segundos ele passa a correr com velocidade constante (isto é, aceleração ) até completar os metros. - Na parte (b) é dada a informação adicional: o tempo total para percorrer os
metros é segundos.
Perguntas do enunciado:
- (a) Determine a posição (relativamente à posição inicial) e a velocidade do corredor ao final dos
segundos, em função de . - (b) Assumindo que o tempo total da corrida é
segundos, encontre o valor da aceleração (deixe a resposta em forma de fração e indique unidades).
Passo 2
Definindo variáveis e lembrando as fórmulas de cinemática (explicando o porquê e o que cada símbolo significa).
- Seja
a posição do corredor medida a partir da posição inicial no instante (em metros). - Seja
a velocidade do corredor no instante (em metros por segundo). - Aceleração constante igual a
(em metros por segundo ao quadrado) significa que a velocidade varia linearmente com o tempo segundo a fórmula
onde
é a velocidade inicial (no nosso caso
porque parte do repouso). Essa fórmula vem da definição de aceleração média constante: aceleração é variação de velocidade por unidade de tempo.
- A posição quando a aceleração é constante é dada por
onde
é a posição inicial (aqui
). Essa fórmula resulta de integrar a velocidade (que é
) em relação ao tempo.
Vou aplicar essas fórmulas com
e
.
Passo 3
Cálculo da velocidade ao final dos
segundos.
- Usando
com e :
Portanto a velocidade ao final dos
segundos é
(unidade:
). Explico: a aceleração
acrescenta
metros por segundo à velocidade a cada segundo; em 2 s o acréscimo é
.
Passo 4
Cálculo da posição ao final dos
segundos.
- Usando
com , , :
Portanto a posição relativa ao início ao final dos
segundos é
metros. Observação didática: é comum que, partindo do repouso com aceleração constante, a distância percorrida em tempo
seja proporcional a
; aqui
simplifica para o fator
que cancela com
.
Passo 5
Relacionando com a segunda parte do enunciado (tempo total
s) para encontrar
.
- Distância já percorrida nos primeiros
segundos: (peguei essa expressão dos passos anteriores). - Velocidade constante após
s é (também obtido acima). - Tempo restante até completar a corrida:
segundos. - Distância percorrida na fase de velocidade constante (dos
s até s): velocidade vezes tempo,
- A soma das distâncias das duas fases tem que ser
metros. Então:
Substituindo
e a distância restante
:
Passo 6
Resolver a equação para
, passo a passo.
- Somando os termos:
- Isolando
:
- Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por
:
- Unidade: como
é aceleração, a unidade é . Portanto a resposta em forma de fração com unidade é .
Resposta
(a)
m e
m/s
(b)
(b)