Em um experimento sobre a determinação da constante elástica da mola, foram encontrados os seguintes resultados de medição:
massa
deslocamento
Considerando a aceleração gravitacional uma constante fixa (sem erros experimentais)
, apresente o resultado final da medição indireta da constante elástica da mola
.
massa
deslocamento
Passo 1
O enunciado pede a determinação da constante elástica da mola
obtida indiretamente pela fórmula
Dados fornecidos (peguei-os do enunciado):
- massa:
, - deslocamento:
, - aceleração da gravidade (considerada exata):
.
O que se quer: calcular o valor de
e a sua incerteza associada, ou seja um resultado do tipo
em unidades de
.
Passo 2
Escolha do método de propagação de incerteza (o “como” calcular a incerteza):
- Como
depende de duas grandezas medidas e , uso a propagação por derivadas parciais (método padrão para erro em função de variáveis independentes). É um método simples e adequado aqui porque é exato e as incertezas em e são independentes. - Vou apresentar a fórmula geral e depois calcular numericamente passo a passo.
Passo 3
Lembrete da fórmula de propagação (explicando cada símbolo):
- Se
, a variância (quadrado da incerteza) aproximada é
onde
e
são as incertezas absolutas de
e
, respectivamente. Esta fórmula vem da expansão de Taylor de primeira ordem e da soma das variâncias quando as variáveis são independentes.
Para o nosso caso
. Calculo as derivadas parciais:
Então a propagação dá:
Passo 4
Cálculo do valor nominal de
(substituindo os valores médios):
Faço a conta em etapas:
Portanto o valor calculado é
(ainda sem arredondar segundo a incerteza).
Passo 5
Cálculo numérico da incerteza
usando a fórmula das derivadas:
Primeiro calculo cada termo auxiliar:
Primeiro calculo cada termo auxiliar:
Agora multiplico pelos respectivos
:
Esses são os contributos absolutos para a incerteza (antes de somar em quadratura). Agora somo em quadratura:
Portanto a incerteza absoluta é
.
Passo 6
Verificação rápida usando incerteza relativa (opcional, para entender a contribuição relativa de cada medida):
- incerteza relativa de
: (≈ ), - incerteza relativa de
: (≈ ).
Como
é proporcional a
e inversamente proporcional a
, a incerteza relativa combinada (approx.) é
logo
, que confirma o cálculo anterior.
Passo 7
Arredondamento e apresentação final:
- Regra prática: normalmente apresenta-se a incerteza com 1 algarismo significativo (ou às vezes 2 se o primeiro for 1 ou 2). Aqui
, então podemos arredondar a incerteza para (duas cifras significativas) ou para (uma cifra). Vou optar por apresentar com duas cifras significativas na incerteza, ficando
Explico a escolha: mantive a incerteza com duas cifras porque o valor não fica artificialmente grosseiro; se preferir uma cifra apenas, a forma equivalente seria
.