Em um experimento sobre a determinação da constante elástica da mola, foram encontrados os seguintes resultados de medição:
massa m=(0,53 \pm 0,02) \mathrm{kg}
deslocamento \Delta x=(0,15 \pm 0,01) \mathrm{m}
Considerando a aceleração gravitacional uma constante fixa (sem erros experimentais) g=9,80 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, apresente o resultado final da medição indireta da constante elástica da mola k.
k=\frac{m g}{\Delta x}

Passo 1

O enunciado pede a determinação da constante elástica da mola k obtida indiretamente pela fórmula
k=\frac{m g}{\Delta x}.
Dados fornecidos (peguei-os do enunciado):
  • massa: m=(0,53\pm0,02)\\ \mathrm{kg},
  • deslocamento: \Delta x=(0,15\pm0,01)\\ \mathrm{m},
  • aceleração da gravidade (considerada exata): g=9,80\\ \mathrm{m/s^{2}}.
O que se quer: calcular o valor de k e a sua incerteza associada, ou seja um resultado do tipo k = \text{valor} \pm \text{incerteza} em unidades de \mathrm{N/m}.

Passo 2

Escolha do método de propagação de incerteza (o “como” calcular a incerteza):
  • Como k depende de duas grandezas medidas m e \Delta x, uso a propagação por derivadas parciais (método padrão para erro em função de variáveis independentes). É um método simples e adequado aqui porque g é exato e as incertezas em m e \Delta x são independentes.
  • Vou apresentar a fórmula geral e depois calcular numericamente passo a passo.

Passo 3

Lembrete da fórmula de propagação (explicando cada símbolo):
  • Se k=f(m,\Delta x), a variância (quadrado da incerteza) aproximada é
\sigma_k^2=\left(\frac{\partial f}{\partial m}\right)^{2}\sigma_m^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial \Delta x}\right)^{2}\sigma_{\Delta x}^{2},
onde \sigma_m e \sigma_{\Delta x} são as incertezas absolutas de m e \Delta x, respectivamente. Esta fórmula vem da expansão de Taylor de primeira ordem e da soma das variâncias quando as variáveis são independentes.
Para o nosso caso f(m,\Delta x)=\dfrac{m g}{\Delta x}. Calculo as derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial m}=\frac{g}{\Delta x}, \qquad \frac{\partial f}{\partial \Delta x}=-\frac{m g}{\Delta x^{2}}.
Então a propagação dá:
\sigma_k^2=\left(\frac{g}{\Delta x}\right)^{2}\sigma_m^{2}+\left(\frac{m g}{\Delta x^{2}}\right)^{2}\sigma_{\Delta x}^{2}.

Passo 4

Cálculo do valor nominal de k (substituindo os valores médios):
k=\frac{m g}{\Delta x}=\frac{0,53\cdot 9,80}{0,15}.
Faço a conta em etapas:
0,53\cdot 9,80 = 5,194,
k=\frac{5,194}{0,15}=34,626\ldots
Portanto o valor calculado é k\approx34,63\\ \mathrm{N/m} (ainda sem arredondar segundo a incerteza).

Passo 5

Cálculo numérico da incerteza \sigma_k usando a fórmula das derivadas:
Primeiro calculo cada termo auxiliar:
\frac{g}{\Delta x}=\frac{9,80}{0,15}=65,333\ldots
\frac{m g}{\Delta x^{2}}=\frac{0,53\cdot 9,80}{(0,15)^{2}}=\frac{5,194}{0,0225}=230,844\ldots
Agora multiplico pelos respectivos \sigma:
\left(\frac{g}{\Delta x}\right)\sigma_m = 65,333\cdot 0,02 = 1,30667\ldots
\left(\frac{m g}{\Delta x^{2}}\right)\sigma_{\Delta x} = 230,844\cdot 0,01 = 2,30844\ldots
Esses são os contributos absolutos para a incerteza (antes de somar em quadratura). Agora somo em quadratura:
\sigma_k = \sqrt{(1,30667)^{2} + (2,30844)^{2}} = \sqrt{1,7084 + 5,3270} = \sqrt{7,0354} = 2,653\ldots
Portanto a incerteza absoluta é \sigma_k\approx2,65\\ \mathrm{N/m}.

Passo 6

Verificação rápida usando incerteza relativa (opcional, para entender a contribuição relativa de cada medida):
  • incerteza relativa de m: \dfrac{\sigma_m}{m}=\dfrac{0,02}{0,53}\approx0,0377 (≈ 3{,}8\%),
  • incerteza relativa de \Delta x: \dfrac{\sigma_{\Delta x}}{\Delta x}=\dfrac{0,01}{0,15}\approx0,0667 (≈ 6{,}67\%).
Como k é proporcional a m e inversamente proporcional a \Delta x, a incerteza relativa combinada (approx.) é
\frac{\sigma_k}{k}\approx\sqrt{\left(\frac{\sigma_m}{m}\right)^{2}+\left(\frac{\sigma_{\Delta x}}{\Delta x}\right)^{2}} \approx\sqrt{0,0377^{2}+0,0667^{2}}\approx0,0766,
logo \sigma_k\approx 0,0766\cdot 34,63 \approx 2,65\\ \mathrm{N/m}, que confirma o cálculo anterior.

Passo 7

Arredondamento e apresentação final:
  • Regra prática: normalmente apresenta-se a incerteza com 1 algarismo significativo (ou às vezes 2 se o primeiro for 1 ou 2). Aqui \sigma_k\approx2,65, então podemos arredondar a incerteza para 2,7\\ \mathrm{N/m} (duas cifras significativas) ou para 3\\ \mathrm{N/m} (uma cifra). Vou optar por apresentar com duas cifras significativas na incerteza, ficando
k=(34,6\pm2,7)\\ \mathrm{N/m}.
Explico a escolha: mantive a incerteza com duas cifras porque o valor não fica artificialmente grosseiro; se preferir uma cifra apenas, a forma equivalente seria k=(35\pm3)\\ \mathrm{N/m}.

Resposta

k=(34,6\pm2,7)\\ \mathrm{N/m}

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