Um cilindro contém
de
gasoso a
e pressão de
. O gás sofre uma expansão adiabática até que seu volume seja dobrado. Quanto valem (a) o volume final e (b) a temperatura final?
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
-
Pedido:
- (a) o volume final após a expansão adiabática até o volume dobrar;
- (b) a temperatura final após essa expansão.
-
Dados fornecidos:
- quantidade de matéria:
(peguei do enunciado); - temperatura inicial:
(peguei do enunciado); - pressão inicial:
(peguei do enunciado); - a transformação é adiabática e o volume final é o dobro do inicial (peguei do enunciado).
- quantidade de matéria:
-
Observações úteis (do enunciado):
- trata-se de oxigênio molecular
, ou seja um gás diatômico; isso afetará o valor de (explicarei adiante).
- trata-se de oxigênio molecular
Passo 2
Converter temperatura inicial para Kelvin e anotar constante dos gases:
-
Conversão:
-
-
Constante dos gases (usarei unidades que combinam com pressão em atm e volume em litros):
-
Passo 3
Determinar o volume inicial usando a equação dos gases ideais e explicar a fórmula:
- Fórmula (ideia): a equação dos gases ideais relaciona pressão, volume, número de mols e temperatura por
onde
é a pressão,
o volume,
o número de mols,
a constante dos gases e
a temperatura em kelvin.
- Isolando
:
- Substituindo os valores (mostrando a conta passo a passo):
Calculemos em etapas:
- Arredondando com 3 algarismos significativos:
Passo 4
Determinar o volume final (parte (a)) — aqui é direto pelo enunciado:
- O enunciado diz que o volume foi dobrado, então
Substituindo o valor encontrado:
Arredondando:
Observação: se quiser em metros cúbicos,
, logo
.
Passo 5
Explicar a lei adiabática usada para encontrar a temperatura final:
- Para uma transformação adiabática reversível de um gás ideal vale a relação
onde
é a razão entre capacidades molares a pressão e a volume constantes.
- A partir de
constante e usando pode-se obter também a forma
Isso segue porque
e ao substituir em
cancela-se
dando uma constante multiplicada por
. Portanto para os estados 1 e 2:
Isolando
:
Passo 6
Determinar
para o
e justificar o valor usado:
- Explicação de
: para um gás ideal com graus de liberdade (translação, rotação, vibração), valem
logo
- Para um gás diatômico como
(em temperaturas moderadas onde modos vibracionais não estão excitados) temos (3 translação + 2 rotação), portanto
Comentário: isso é uma aproximação muito usada em problemas de termodinâmica; é válida a temperaturas como a do enunciado.
Passo 7
Calcular a temperatura final usando a relação adiabática explicada:
- Como
, temos . Usando a fórmula
com
temos
.
- Então
Calculemos:
(porta de cálculo:
, com
).
- Então
- Convertendo para graus Celsius:
Arredondando com 3 algarismos significativos:
Resposta
(a)
(b)
(b)