Um cilindro contém 0,10 \mathrm{~mol} de \mathrm{O}_{2} gasoso a 150^{\circ} \mathrm{C} e pressão de 3,0 \mathrm{~atm}. O gás sofre uma expansão adiabática até que seu volume seja dobrado. Quanto valem (a) o volume final e (b) a temperatura final?

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pedido:
    • (a) o volume final após a expansão adiabática até o volume dobrar;
    • (b) a temperatura final após essa expansão.
  • Dados fornecidos:
    • quantidade de matéria: n=0{,}10\\ \text{mol} (peguei do enunciado);
    • temperatura inicial: 150^\circ\mathrm{C} (peguei do enunciado);
    • pressão inicial: 3{,}0\\ \text{atm} (peguei do enunciado);
    • a transformação é adiabática e o volume final é o dobro do inicial (peguei do enunciado).
  • Observações úteis (do enunciado):
    • trata-se de oxigênio molecular \mathrm{O}_2, ou seja um gás diatômico; isso afetará o valor de \gamma (explicarei adiante).

Passo 2

Converter temperatura inicial para Kelvin e anotar constante dos gases:
  • Conversão:
    • T_1 = 150^\circ\mathrm{C} = 150+273{,}15 = 423{,}15\\ \text{K}.
  • Constante dos gases (usarei unidades que combinam com pressão em atm e volume em litros):
    • R = 0{,}08206\\ \text{L}\cdot\text{atm}\cdot\text{mol}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}.

Passo 3

Determinar o volume inicial usando a equação dos gases ideais e explicar a fórmula:
  • Fórmula (ideia): a equação dos gases ideais relaciona pressão, volume, número de mols e temperatura por
PV = nRT,
onde P é a pressão, V o volume, n o número de mols, R a constante dos gases e T a temperatura em kelvin.
  • Isolando V:
V_1 = \frac{n R T_1}{P_1}.
  • Substituindo os valores (mostrando a conta passo a passo):
V_1 = \frac{0{,}10\cdot 0{,}08206\cdot 423{,}15}{3{,}0}.
Calculemos em etapas:
0{,}10\cdot 0{,}08206 = 0{,}008206,
0{,}008206\cdot 423{,}15 \approx 3{,}47239,
V_1 \approx \frac{3{,}47239}{3{,}0} \approx 1{,}15746\\ \text{L}.
  • Arredondando com 3 algarismos significativos:
V_1 \approx 1{,}16\\ \text{L}.

Passo 4

Determinar o volume final (parte (a)) — aqui é direto pelo enunciado:
  • O enunciado diz que o volume foi dobrado, então
V_2 = 2V_1.
Substituindo o valor encontrado:
V_2 = 2\cdot 1{,}15746\\ \text{L} \approx 2{,}31492\\ \text{L}.
Arredondando:
V_2 \approx 2{,}31\\ \text{L}.
Observação: se quiser em metros cúbicos, 1\\ \text{L}=1\times 10^{-3}\\ \text{m}^3, logo V_2\approx 2{,}31\times 10^{-3}\\ \text{m}^3.

Passo 5

Explicar a lei adiabática usada para encontrar a temperatura final:
  • Para uma transformação adiabática reversível de um gás ideal vale a relação
P V^{\gamma}=\text{constante},
onde \gamma=\dfrac{C_P}{C_V} é a razão entre capacidades molares a pressão e a volume constantes.
  • A partir de P V^{\gamma}= constante e usando PV=nRT pode-se obter também a forma
T V^{\gamma-1}=\text{constante}.
Isso segue porque P\propto T/V e ao substituir em P V^{\gamma} cancela-se V dando uma constante multiplicada por T V^{\gamma-1}. Portanto para os estados 1 e 2:
T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}.
Isolando T_2:
T_2 = T_1\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1}.

Passo 6

Determinar \gamma para o \mathrm{O}_2 e justificar o valor usado:
  • Explicação de \gamma: para um gás ideal com f graus de liberdade (translação, rotação, vibração), valem
C_V=\frac{f}{2}R,\qquad C_P=C_V+R,
logo
\gamma = 1+\frac{2}{f}.
  • Para um gás diatômico como \mathrm{O}_2 (em temperaturas moderadas onde modos vibracionais não estão excitados) temos f=5 (3 translação + 2 rotação), portanto
\gamma = 1+\frac{2}{5} = \frac{7}{5} = 1{,}4.
Comentário: isso é uma aproximação muito usada em problemas de termodinâmica; é válida a temperaturas como a do enunciado.

Passo 7

Calcular a temperatura final usando a relação adiabática explicada:
  • Como V_2=2V_1, temos \dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{1}{2}. Usando a fórmula
T_2 = T_1\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1} = T_1\left(\frac{1}{2}\right)^{\gamma-1},
com \gamma=1{,}4 temos \gamma-1=0{,}4.
  • Então
T_2 = 423{,}15\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^{0{,}4}.
Calculemos:
\left(\tfrac{1}{2}\right)^{0{,}4} = 2^{-0{,}4} \approx 0{,}7579
(porta de cálculo: 2^{-0{,}4}=e^{-0{,}4\ln 2}, com \ln 2\approx 0{,}693147).
  • Então
T_2 \approx 423{,}15\cdot 0{,}7579 \approx 320{,}52\\ \text{K}.
  • Convertendo para graus Celsius:
T_2 = 320{,}52\\ \text{K} - 273{,}15 \approx 47{,}37^\circ\mathrm{C}.
Arredondando com 3 algarismos significativos:
T_2 \approx 321\\ \text{K}\quad\text{ou}\quad T_2 \approx 47{,}4^\circ\mathrm{C}.

Resposta

(a) V_2 \approx 2{,}31\\ \text{L}
(b) T_2 \approx 321\\ \text{K} \approx 47{,}4^\circ\mathrm{C}

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